伝達関数G(S)=K/(Ts^2+s+K)において固有振動数1、減衰比0.5になるようにKとTを決めるという問題なのですが、どのように求めたらよいのでしょうか?教えてください。お願いします。

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A 回答 (2件)

2次系の応答の問題ですね。


これは制御工学のごく初歩の問題です。従って教科書には必ず、固有振動数(あるいは固有角振動数)、減衰比の定義とそれらのパラメータを変えた場合の応答の変化が載っているはずです。それを自分でもう一度読み直して下さい。

ヒントだけ書きます。
一般に伝達関数C(s)=ω^2/(s^2+2ζωs+ω^2)があったとします。(ωは正の値を取るものとする)
これに例えばステップ入力(例えば、出力=1)を加えたときの応答は、
(A)いったんその目標値を行き過ぎてから振動的に近付く
(B)目標値を行き過ぎることなく、しかしゆっくりとした応答で近付く
(C)ちょうど、(A)と(B)の中間(臨界的減衰)
の3種類があります。(その他に時間とともに振動がどんどん大きくなり目標値に収束しない(系が不安定になる)場合もありますが、これは実用上の意味はあまりないので省いてあります)

では(A)~(C)のいずれになるか、またその際の挙動(減衰/振動の時定数)を決めているパラメータは何でしょうか?
それは伝達関数の極に他なりません。つまり、C(s)で分母=0の方程式を解いて出てくる2つの根によって系の応答が決まるわけです。
それら2つの根をα、βとおきます。このときC(s)のステップ応答は
1+(β/(α-β))exp(αt)+(α/(β-α))exp(βt)
となります。((C)の臨界的減衰の場合を除く)

1<ζなら2次方程式を解いて分かるように、極は2つの負の実数になります。系の応答は(B)になります。
0<ζ<1なら同様にして、極は2つの虚数になります。かつその実部は負ですから、振動しながら目標に近付く応答(A)になります。
ちなみにζ=0なら減衰しない振動、ζ=1なら(C)の臨界減衰(極は重根)、ζ<0なら時間とともに増大する振動(系は不安定)になります。
このようにζは系の応答(主に減衰)を決める重要なパラメータであり、減衰定数などと呼んでいるわけです。
一方0<ζ<1で振動する際、その振動数はどうやって決まるのでしょうか? これは2次方程式の解の公式から直ちに
ω・√(1-ζ^2)
と分かります。ωは振動数を決めるパラメータで「固有角振動数」などと呼ばれます。

以上です。この先は自分なりにトライしてみて下さい。
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この回答へのお礼

悩んでいたのは、減衰比を振幅減衰比だと思っていたことです。ζを制動比と本に書いてあり、計算が減衰比を振幅減衰比だと思うと計算が複雑になり、困ってしまいました。ありがとうございました。

お礼日時:2001/08/05 21:43

Umada さんの


> これは制御工学のごく初歩の問題です。
> 従って教科書には必ず、固有振動数(あるいは固有角振動数)、
> 減衰比の定義とそれらのパラメータを変えた場合の応答の変化が載っているはずです。
> それを自分でもう一度読み直して下さい。

に全く同感です.
Umada さんが詳細なヒント(というか,ほとんど解答ですね)を書かれていますので,
蛇足の補足です.

そもそも,伝達関数って何でしたっけ?
何かのラプラス変換になっていたはずです.
もとの「何か」に戻してみれば状況がよく見えますよ.
「何か」の変数は何でしたっけ?
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#2です.

途中で送ってしまいました.

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です.
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>では、皆さんは、制御工学を使わず、
>どのように温度制御やモーター制御をしていますか?
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QMathematicaでのTr{(sl[q]+m)γμu(sl[p]+sl[k]+m)γνu(sl[p]+m)γνd( sl[p]+sl[k]+m)γμd}

Mathematicaで、

Tr{(sl[q]+m)γμu(sl[p]+sl[k]+m)γνu(sl[p]+m)γνd( sl[p]+sl[k]+m)γμd}
= Tr[(-2sl[q]+4m)( sl[p]+sl[k]+m)(-2sl[p]+4m)( sl[p]+sl[k]+m)]

の計算をやってみようと思い、下記のプログラムを作りましたが、

と一致しません。

式―1と式―2が、
Tr{(sl[q]+m)γμu(sl[p]+sl[k]+m)γνu(sl[p]+m)γνd( sl[p]+sl[k]+m)γμd}

の計算です。(2通りやりました)

式―3が
Tr[(-2sl[q]+4m)( sl[p]+sl[k]+m)(-2sl[p]+4m)( sl[p]+sl[k]+m)]


の計算です。



demoteRank4to2[y_]:=Flatten[Map[Flatten,Transpose[y,{1,3,2,4}],{2}],1];

pauli2times[g1_,g2_]:=demoteRank4to2[Outer[Times,g1,g2]];

g1={{0,1},{1,0}};
g2={{0,-I},{I,0}};
g3={{1,0},{0,-1}};
g0={{1,0},{0,1}};

gu[0]=pauli2times[g2,g3];
gu[1]=-pauli2times[g1,g3];
gu[2]=pauli2times[g0,g2];
gu[3]=-pauli2times[g0,g1];

e4=IdentityMatrix[4];

gd[0]=1*gu[0];
gd[1]=-1*gu[1];
gd[2]=-1*gu[2];
gd[3]=-1*gu[3];

sl[q]=(gu[0]*q0+gu[1]*-q1+gu[2]*-q2+gu[3]*-q3);
sl[p]=(gu[0]*p0+gu[1]*-p1+gu[2]*-p2+gu[3]*-p3);
sl[k]=(gu[0]*k0+gu[1]*-k1+gu[2]*-k2+gu[3]*-k3);
gmu=(gu[0]+gu[1]+gu[2]+gu[3]);
gnu=(gu[0]+gu[1]+gu[2]+gu[3]);
gmd=(gd[0]+gd[1]+gd[2]+gd[3]);
gnd=(gd[0]+gd[1]+gd[2]+gd[3]);

ms=m*e4;


(*式ー1*)
s=0;
y1=0;
For[x=0,x£3,x++,
s=Tr[(sl[q]+ms).gu[x].(sl[p]+sl[k]+ms).gu[x](sl[p]+ms).gd[x].(sl[p]+sl[k]+ms).gd[x]];
y1=y1+s;
Print[FullSimplify[y1]];
];

(*式ー2*)
y2=Tr[(sl[q]+ms).gmu.(sl[p]+sl[k]+ms).gnu(sl[p]+ms).gnd.(sl[p]+sl[k]+ms).gmd];
Print[FullSimplify[y1]];

(*式ー3*)
y3=Tr[(-2sl[q]+4ms).(sl[p]+sl[k]+ms).(-2sl[p]+4ms).(sl[p]+sl[k]+ms)];

Mathematicaで、

Tr{(sl[q]+m)γμu(sl[p]+sl[k]+m)γνu(sl[p]+m)γνd( sl[p]+sl[k]+m)γμd}
= Tr[(-2sl[q]+4m)( sl[p]+sl[k]+m)(-2sl[p]+4m)( sl[p]+sl[k]+m)]

の計算をやってみようと思い、下記のプログラムを作りましたが、

と一致しません。

式―1と式―2が、
Tr{(sl[q]+m)γμu(sl[p]+sl[k]+m)γνu(sl[p]+m)γνd( sl[p]+sl[k]+m)γμd}

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式―3が
Tr[(-2sl[q]+4m)( sl[p]+sl[k]+m)(-2sl[p]+4m)( sl[p]+sl[k]+m)]


の計算です。



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ダミーインデックス(総和添字)が2組あるとき、例えば
 γμuγνuγνdγμd
はμとνがそれぞれ独立に0から3までの値を取ります。したがってめんどくさいけど全部書くと
 γμuγνuγνdγμd
=γ0uγ0uγ0dγ0d + γ1uγ0uγ0dγ1d +γ2uγ0uγ0dγ2d + γ3uγ0uγ0dγ3d
+γ0uγ1uγ1dγ0d + γ1uγ1uγ1dγ1d +γ2uγ1uγ1dγ2d + γ3uγ1uγ1dγ3d
+ γ0uγ2uγ2dγ0d + γ1uγ2uγ2dγ1d +γ2uγ2uγ2dγ2d + γ3uγ2uγ2dγ3d
+γ0uγ3uγ3dγ0d + γ1uγ3uγ3dγ1d +γ2uγ3uγ3dγ2d + γ3uγ3uγ3dγ3d …(1)
です。一方、
For[x=0,x£3,x++, s=Tr[(sl[q]+ms).gu[x].(sl[p]+sl[k]+ms).gu[x](sl[p]+ms).gd[x].(sl[p]+sl[k]+ms).gd[x]]
としたのでは
γ0uγ0uγ0dγ0d + γ1uγ1uγ1dγ1d + γ2uγ2uγ2dγ2d + γ3uγ3uγ3dγ3d …(2)
のような計算をすることになります。また(*式ー2*)では
(γu0+γu1+γu2+γu3) (γu0+γu1+γu2+γu3) (γd0+γd1+γd2+γd3) (γd0+γd1+γd2+γd3) …(3)
のような計算になってしまいます。(1)と(2)(3)は等しくありません。これは単にプログラミングのミスでしょうか。(1)はローレンツ不変な形になっていますが、(2)(3)はローレンツ不変な形ではありません。ローレンツ不変でない式を書くようでは基本的な部分の理解が不十分なのではないでしょうか。これは数式処理とか場の量子論の問題ではありません。場の量子論の問題とはもっと重要で微妙な問題のことを指します。

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+γ0uγ1uγ1dγ0d + γ1uγ1uγ1dγ1d +γ2uγ1uγ1dγ2d + γ3uγ1uγ1dγ3d
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For[x=0,x£3,x++, s=Tr[(sl[q]+ms).gu[x]....続きを読む

Q制御工学は物理、数学いずれと関連ありか?

制御工学は数学、、物理いずれの科目が関係していますか?

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制御工学は数学、、物理いずれの科目が関係していますか?

★回答

物理現象を 数学でモデル化して 制御する手法と考えればぴったしくるでしょう。
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Q固有角振動数w=√(kL^2+3mLg-MLg)/√(ML^2+12m

固有角振動数w=√(kL^2+3mLg-MLg)/√(ML^2+12mL^2)のMを∞にすると
i√(g/L)となるのですが、固有角振動が虚数になるとき振動はしないのでしょうか?

Aベストアンサー

w=√(kL^2+3mLg-MLg)/√(ML^2+12mL^2)
が何の式かはわかりませんが

角振動数が虚数の時
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なので振動せずに単に振幅が減衰していく解が得られます。

Q制御工学の重要性

良くここで制御工学に関する質問をさせてもらっているのですが,
皆さんからのアドバイスのおかげで、最近ではようやく教科書の
問題なども違和感なく解けるようになってきました。
(といってもまだまだのところも沢山あるのですが...)

ただ,ここにきて大部制御工学というものに疑問を抱くようにな
ってきました.
というのも一般的に大学で行なわれている制御工学には古典制御
と現代制御がありますよね(ちなみに現代制御の方はちんぷんか
んぷんです...)
で,私は現在古典制御を重点的に勉強しているのですが,このこ
を私の知人に話したら,彼は全くの素人だったために,応答や伝
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一体それ(制御技術,これは古典・現代は関係ない)を使ったも
のって一体何があるの?どういうしくみになってるの?」って聞
かれてしまいました.

○どのような制御技術が既存の製品のどのような点で,一体どの
ようにして貢献しているのか.

私は彼のこの質問に真っ青になってしまいました.
数式だけといて満足してしまっていた,私に制御工学の重要性と,
上記の○に関してアドバイスしていただける方がいましたらよろ
しくお願いします.

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皆さんからのアドバイスのおかげで、最近ではようやく教科書の
問題なども違和感なく解けるようになってきました。
(といってもまだまだのところも沢山あるのですが...)

ただ,ここにきて大部制御工学というものに疑問を抱くようにな
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No.7のtococheです。
まぎらわしい書き方をしてしまってすみません。 最近、飛躍的に進歩した部分の例は「二足歩行ロボット」だけです。

[磁気吸引浮上]
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でも実験からモデルを立てるのは、すごく手間のかかる方法ですよ。 厳密でなくても(単純化してでも)モデルを作って、数学を使って骨組み(理論値)として、現実との差を検証するのが良いでしょう。 数学がなくて実験だけだと、方程式を解けばすぐに答えの出ることを、いちいち数値を入れて結果に合っているか確かめるようなものですから。 「数学も実験も両方できなきゃだめだ」と構えなくとも、「数学で壁に当たったら実験で」「実験で壁に当たったら数学で」解決策を探るようにできれば良いと思います。(壁にぶち当たるのが楽しいマニアには、ならなくてもいいですけど) シミュレーションを起点にして、数学と実験の両方を攻めるのも良いかもしれません。(シミュレーションは、あくまでイメージトレーニングのようなものですが)

No.4での補足に「現代制御は非線形?」との記述がありますが、非線形を扱うにはコンピュータでのシミュレーションが最適ということでしょう。 現代制御の定義はわかりませんが範囲は広いものと思われますし、確立するのはずっと先のことでしょう。 二足歩行ロボットも動歩行ができるようになったばかりで、ゼロモーメントポイントが足から外れる転倒歩行や、走行時のマスキングや補間,予測もこれからの課題ですから、まだまだやらなくてはならないことがたくさんあるでしょう。

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Q入力の振動数と、固有振動数と、出力の振動数の関係

入力の振動数をf1
振動体の固有振動数をf0
出力の振動数をf2とすると

振動体が自由振動をするときの
この3つの振動数の関係を教えてもらえないでしょうか?お願いします

Aベストアンサー

自由振動する場合振動体は固有振動数で振動するので出力振動数は一定だと思います。すなわち常にf0=f2

先の回答者も述べていますが、問題が間違っているような気がします。それとも自由振動の意味を問う引っかけ問題なのかな?

入力振動数が関係するなら自由振動ではなく強制振動ということになりますので問題としておかしいです。

自由振動の問題ではなく強制振動の問題なら入力振動と固有振動の関係によって、振幅がどうなるかを問う問題になるのが普通ではないでしょうか?

例えば入力振動数をf1、振動体の固有振動数をf0、入力に対する出力の振幅比をf2とした場合の関係などと

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f1=f0のとき出力振幅=∞
f1<<f0(f1が極めてf0に比べて小さいとき) f2=1
f1/f0=√2のときf2=1
f1/f0>√2のときf2<1

こんなことを共振曲線を説明させたかったのに、出題ミスをしてしまったような気がします。


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