環RについてR加群の短完全列 0→L→M→N→0 α: L→M R単射準同型 β: M→N R単射準

環RについてR加群の短完全列

0→L→M→N→0

α: L→M R単射準同型
β: M→N R単射準同型

とする。このときMがネーター加群であることの必要十分条件はL,Mもネーター加群となることであることを示したいです。



{M_i}を Mの部分加群の昇鎖として

{α^(−1)(M_i)}=M_i∩Lは Lの
{β(M_i)}=(M_i+L)/L}はN
の部分加群の昇鎖なので, 仮定によりいずれも停留する。

とあるのですがそもそも本当に


{α^(−1)(M_i)}=M_i∩L

{β(M_i)}=(M_i+L)/L}
が成り立つのかどうかわかりません。証明を教えてください。


またどうしてこの等式が示されると証明完了となるのかもよくわかりません。

質問者からの補足コメント

• β':(M_i+α(L))/α(L)→β(M_i)
  β'(x+α(L))=β(x)
  は全単射準同型とありますが、この部分の証明を詳しく教えてください。

    補足日時：2020/01/11 22:26

• {M_i∩α(L)}
  と
  {(M_i+α(L))/α(L)}
  はともに有限個しかないから
  
  {M_i}は有限個しかないと言えるのは何故ですか？

    補足日時：2020/01/11 22:31

• 第2同型定理から
  
  M_i/{M_i∩α(L)}=(同型)=(M_i+α(L))/α(L)
  
  だから
  
  
  M_i=(同型)={M_i∩α(L)}(+){(M_i+α(L))/α(L)}とありますが、M_i=(同型)={M_i∩α(L)}(+){(M_i+α(L))/α(L)}となるのは何故ですか？

    補足日時：2020/01/12 12:57

• なるほど、第二同型定理を使う理由はわかりました。
  
  自分で考えてみた際、第二同型定理を使うことなく示すこともできると思うのですが以下の議論に問題はないでしょうか？
  
  {M_i∩α(L)}
  と
  {(M_i+α(L))/α(L)}
  はともに有限個しかないということがわかり、さらに
  
  0→ α^(−1)(M_i)→M_i→β(M_i)→0
  
  が完全系列となるから
  
  M_i=(同型)α^(−1)(M_i)+(直和)β(M_i)
  
  =(同型) {M_i∩α(L)} +(直和){(M_i+α(L))/α(L)}
  
  となり、M_iは有限個と言えるのではないかと考えたのですがこれでも合っているのでしょうか？

    補足日時：2020/01/12 18:44

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/01/12 19:29

はい

M_i=(同型)α^(−1)(M_i)+(直和)β(M_i)
=(同型) {M_i∩α(L)} +(直和){(M_i+α(L))/α(L)}
で合っています

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/01/12 16:57

第2同型定理から

M_i/{M_i∩α(L)}=(同型)=(M_i+α(L))/α(L)

だから
(M_i+α(L))/α(L)は有限個しかないのだから

M_i/{M_i∩α(L)}も有限個しかないのだから
{M_i∩α(L)}は有限個しかないのだから

ある上限の数mが存在して
m<jとなるjに対して
1≦i≦m
&
[
M_i∩α(L)=(同型)=M_j∩α(L)
]&[
M_i/{M_i∩α(L)}=(同型)=M_j/{M_j∩α(L)}
]
となるようなiが存在する

M_i∩α(L)=(同型)=M_j∩α(L)
だから

M_i/{M_i∩α(L)}=(同型)=M_j/{M_i∩α(L)}

だから

M_i=(同型)=M_j
∴
{M_i}は有限個しかない

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/01/12 11:15

Imα=Kerβ

だから
x∈M_i
a,b∈α(L)=Imα=Kerβ
x+a∈x+α(L)∈M_i+α(L)
x+b∈x+α(L)∈M_i+α(L)
に対して
a∈Kerβだから
β(a)=0だから
β(x+a)=β(x)+β(a)=β(x)
b∈Kerβだから
β(b)=0だから
β(x+b)=β(x)+β(b)=β(x)
だから
β':(M_i+α(L))/α(L)→β(M_i)
を
β'(x+α(L))=β(x)
と定義できる

β'(x+α(L)+y+α(L))=β(x)+β(y)=β'(x+α(L))+β'(y+α(L))
だからβ'は準同型

z∈β(M_i)ならばβ(x)=zとなるx∈M_i⊂M_i+α(L)があるからβ'は全射

x+α(L),y+α(L)∈M_i+α(L)
β'(x+α(L))=β'(y+α(L))
とすると
β(x)=β(y)
β(x-y)=β(x)-β(y)=0
だから
x-y∈Kerβ=Imα=α(L)
だから
x+α(L)=y+α(L)
だから
β'は単射影
∴
β'は全単射準同型

第2同型定理から

M_i/{M_i∩α(L)}=(同型)=(M_i+α(L))/α(L)

だから

M_i=(同型)={M_i∩α(L)}(+){(M_i+α(L))/α(L)}

左辺の{M_i∩α(L)}が(異なるiに対して)同型でないものは有限個しかない
左辺の{(M_i+α(L))/α(L)}が(異なるiに対して)同型でないものは有限個しかない
だから
右辺の
{M_i}も(異なるiに対して)同型でないものは有限個しかない

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/01/09 11:26

「

β: M→N R単射準同型
」
ではなく
「
β: M→N R全射準同型
」
です
それから
「
Imα=Kerβ
」
が抜けています
「
Mがネーター加群であることの必要十分条件はL,Mもネーター加群となることである
」
ではなく
「
Mがネーター加群であることの必要十分条件はL,Nもネーター加群となることである
」
です

環RについてR加群の短完全列

0→L→M→N→0

α: L→M R単射準同型,0=Kerα
Imα=Kerβ
β: M→N R全射準同型,Imβ=N
とする

このときMがネーター加群であることの必要十分条件はL,Nもネーター加群となることである

{α^(−1)(M_i)}=M_i∩L
という表現は厳密には正しくありません

{α^(−1)(M_i)=(同型)=M_i∩α(L)}
と書きます

α:α^(−1)(M_i)→M_i∩α(L)
は全単射準同型だから
同型写像になるから
α^(−1)(M_i)とM_i∩α(L)は同型
{α^(−1)(M_i)=(同型)=M_i∩α(L)}
になる

{β(M_i)}=(M_i+L)/L}
という表現は厳密には正しくありません

{β(M_i)=(同型)=(M_i+α(L))/α(L)}
と書きます

Imα=Kerβ
だから
β':(M_i+α(L))/α(L)→β(M_i)
β'(x+α(L))=β(x)
は全単射準同型だから
同型写像になるから
(M_i+α(L))/α(L)とβ(M_i)は同型
{β(M_i)=(同型)=(M_i+α(L))/α(L)}
になる

L,Nがネーター加群であるとする
{M_i}がMの部分加群の昇鎖とすると

{α^(−1)(M_i)}はLの部分加群の昇鎖
Lがネーター加群だから
{α^(−1)(M_i)}は有限個しかないから
{M_i∩α(L)}は有限個しかない

{β(M_i)}はNの部分加群の昇鎖
Nがネーター加群だから
{β(M_i)}は有限個しかないから
{(M_i+α(L))/α(L)}は有限個しかない

{M_i∩α(L)}
と
{(M_i+α(L))/α(L)}
はともに有限個しかないから

{M_i}は有限個しかないから

Mはネーター加群である

逆にMはネーター加群だとすると

{N_i}をNの部分加群の昇鎖とする
M_i=β^(-1)(N_i)
とすると
βは全射だから
β(M_i)=N_i
となるから
Mはネーター加群だから
{M_i}は有限個しかないのだから
{β(M_i)=N_i}も有限個しかないから
∴
Nはネーター加群

{L_i}をLの部分加群の昇鎖とする
M_i=α(L_i)
とすると
αは単射だから
α:L_i→M_i
は全単射準同型だから逆(α|L_i)^(-1)が存在し
L_iとM_iは同型だから
Mはネーター加群だから
{M_i}は有限個しかないのだから
{(α|L_i)^(-1)(M_i)=L_i}も有限個しかないから
∴
Lはネーター加群