三角比の単位円についてです。画像のように、x+y=1/3が単位円上でこのように表されるのはどうしてで

三角比の単位円についてです。画像のように、x+y=1/3が単位円上でこのように表されるのはどうしてですか？直線の式と関係があるのでしょうか。教えてください。

質問者からの補足コメント

• 直線の式は、y=ax+bであると記憶しているのですが、今回の問題に出てくるx+y=1/3というのは、どのように変形(?)したものと考えたらよいのでしょうか。

    補足日時：2020/02/19 17:21

No.7 回答者： ask001 回答日時： 2020/02/22 01:19

そもそも単位円というのは、「原点から距離１の点をあつめたもの」です。

ご存知の通り、この円上の各点と原点を結んだ直線を斜辺とし、その点からx軸（又はy軸）に垂線をおろして直角三角形をつくるわけです。
そうすると、斜辺＝１より「sinΘとcosΘはそれぞれその点のy座標、x座標そのものとなり」ます。

そのため、sinΘ+cosΘ=x+yに置き換えられるのです。

「」でくくった部分をとくにじっくり考えてみて下さい。
あ、そーか！となるはずです(^^)

頑張ってください♪

No.6 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/02/20 12:49

三角比の定義は　直角三角形の辺の比でしたよね。

でもこれは狭い範囲での定義です
広い範囲に拡張すると定義は以下のようになっています（テキストを一読してみてください）

「座標を用いた三角比の定義」・・・(重要暗記事項!)
座標平面上に半径ｒ・原点中心の円を描く
x軸の正の部分から反時計回りにθの角度をなす半径（動径）OPを考えるとき（Pは半径ｒの円の周上の点）
Pの座標を(x,y)とすれば
sinθ=y/r…①
cosθ=x/r…②
tanθ=y/x
と決める！（これは決めごとです）
これがsin,cos,tanの意味です

画像では、この円を半径1の円（単位円）と設定していますから、①②にr=1を代入して
sinθ=ｙ
cosθ＝ｘです
ゆえに(1/3)=cosθ+sinθ=x+yと変形できるのです

No.5 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/02/19 22:26

単位円上の点P(x,y) について、x=cosθ、y=sinθ

θ＝0°とすると、x=cos0°=1、y=sin0°=0 よって、sin0°+cos0°=0+1=1
θ＝45°とすると、x=cos45°=√2/2、y=sin45°=√2/2 よって、sin45°+cos45°=√2/2+√2/2=√2
θ＝180°とすると、x=cos180°=-1、y=sin180°=0 よって、sin180°+cos180°=0+(-1)=-1
このように、点Pの位置により、θの大きさが変わり、sinθ+cosθ の値は変わります。

問題は、sinθ+cosθ=1/3 になるような点Pの位置を求めなさいということです。
x=cosθ、y=sinθ ですから、x+y=1/3 になるような点Pの位置です。

単位円とは関係なく、x+y=1/3 (y=-x+1/3) は直線を表す式です。
この直線上の点はすべて、ｘとｙをたすと1/3 になります。

ここで、単位円とこの直線を合わせて考えると、直線上の点で、かつ、単位円上の点は、単位円上の点
で、x+y=1/3 になるところです。つまり、単位円と直線の交点が求める点Pの位置です。交点は2つあ
りますが、いま、θは0°以上180°以下のようなので、赤印の点が求める点です。θの大きさは求められ
ませんが、sinθ+cosθ=1/3 となる点Pの位置が求まります。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/02/19 20:46

x + y = 1/3 は、(x, y) = (1/3, 0) と (x, y) = (0, 1/3) を通るでしょ。

0 < 1/3 < 1 だから、
この二点を結ぶと単位円との位置関係は図のようになる。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2020/02/19 17:42

＞直線の式は、y=ax+bであると記憶しているのですが、今回の問題に出てくるx+y=1/3というのは、どのように変形(?)したものと考えたらよいのでしょうか。

x + y = 1/3
は、x を右辺に移項すれば
　y = -x + 1/3
ですから、「y=ax+b」ですよね。
「見かけ」だけにとらわれてはいけません（というか、「見かけ」もそっくりなんですけどね）。

No.2 回答者： スチールウール 回答日時： 2020/02/19 17:34

x+y=1/3

xを右に移項して
y=-x+1/3

よって、傾き-1, y切片1/3の直線

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2020/02/19 17:11

単位円で sinθ と云う事は 斜辺が 1 の円ですから y の値になりますね。

同様に cosθ は x の値になりますから、
sinθ+cosθ=1/3 は、y+x=1/3 と同じことになりますね。
つまり、三角関数も 直線の式として 考えることも出来る と云う事です。