関数f1(x)=x, f2(x)=e^xを解に持つ２階線形同次微分方程式として…

関数f1(x)=x, f2(x)=e^xを解に持つ２階線形同次微分方程式として適当なものを選べ、
という問題ですが、これって、選択肢の式のなかのxにf1(x)-xのxを代入して、
yには f2(x)=e^xを代入していけばいいんでしょうか？

例えば選択肢のひとつは
(x-1)y''+xy'+y = 0です
たぶん、これでいいんじゃないかなと思うのですが。

f1(x), f2(x)をx, yに代入してもいいのかな…

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/03/09 16:57

y=f1(x)=x

と
y=f2(x)=e^x
の
両方
解に持つというのだから
両方とも
y
に代入するのです

まず
y=f1(x)=x
を
(x-1)y"+xy'+y
の
yに代入すると
y=x
y'=1
y"=0
だから
(x-1)*0+x*1+x=2x≠0
だから
f1(x)=x
は
(x-1)y"+xy'+y=0
の
解ではない

y=f2(x)=e^x
を
(x-1)y"+xy'+y
の
yに代入すると
y=e^x
y'=e^x
y"=e^x
だから
(x-1)e^x+xe^x+e^x=2xe^x≠0
だから
f2(x)=x
は
(x-1)y"+xy'+y=0
の
解ではない

f1(x)=x
と
f2(x)=e^x
の
両方解に持つというのだから

c(x)y"+b(x)y'+a(x)y=0…(1)
↓y=f1(x)=xを解に持つのだから
↓y=x
↓y'=1
↓y"=0
↓を代入すると
b(x)+xa(x)=0
b(x)=-xa(x)
↓これを(1)に代入すると
c(x)y"-xa(x)y'+a(x)y=0…(2)
↓y=f2(x)=e^xを解に持つのだから
↓y=e^x
↓y'=e^x
↓y"=e^x
↓を代入すると
c(x)e^x-xa(x)e^x+a(x)e^x=0
↓両辺をe^xで割ると
c(x)-xa(x)+a(x)=0
↓両辺に(x-1)a(x)を加えると
c(x)=(x-1)a(x)
↓これを(2)に代入すると
(x-1)a(x)y"-xa(x)y'+a(x)y=0
↓両辺をa(x)で割ると
∴
(x-1)y"-xy'+y=0

この回答へのお礼

ありがとうございます
両方ともyで、y, y', y''を求めて代入すれば分かるのですね
なるほど

どうもありがとうございました！！

お礼日時：2020/03/09 17:26