数学I この問題なのですが、答えは -1≦k≦-1/5 なのですが なぜ 実数解をもたないのでD<0

数学I

この問題なのですが、答えは -1≦k≦-1/5 なのですが

なぜ 実数解をもたないのでD<0 よって -1<k<-1/5 ではないのでしょうか？(Dを判別式とする)

kが負の実数だと、なぜD≦0となるのですか？

No.4 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2020/03/10 15:40

「実数の2乗は0以上である」

「2乗して0になるのは0だけである」
の2つを周知の事実として認めるならば...
kx²+(3k+1)x+k (k<0)
=1/4k {4k²x²+4(3k+1)kx+4k²}
=1/4k {(2kx)²+2(3k+1)(2kx)+4k²}
=1/4k {(2kx+3k+1)²-(3k+1)²+4k²}
=1/4k {(2kx+3k+1)²-(k+1)(5k+1)}
のように変形することができます。
ここで、k<0 ですから
1/4k<0
k と x は実数ですから
(2kx+3k+1)²≧0
ということで、残った部分が
(k+1)(5k+1)≦0
ならば { } 内≧0 なので全体は常に 0 以下であり、実数解は存在しないことになります。
この時の
(k+1)(5k+1)=D
のことを判別式と言います。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/03/10 14:02

「実数解をもたないので」は、ちょっと大雑把かな。

不等式の評価は、境界の処理が大切なんですよ。
D<0 で実数解がなく、D>0 では実数解がある
という点は、あなたの考えどおり。
では、D=0 のときどうなるかというと、
y=kx^2+(3k+1)x+k の頂点が y=0 になるので、
すべての x について kx^2+(3k+1)x+k ≦ 0 であり
kx^2+(3k+1)x+k > 0 となる x は存在しません。
場合分けの分け目には、要注意です。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/03/10 13:25

まず、不等式の実数解とは不等式をみたす実数xの集まりのことです

よって与えられた不等式が実数解を持たないということは、不等式のｘに当てはまるものが１つもないということです
そこでグラフをイメージ
y=kx²+(3k+1)x+k とおくとこれは上に凸の放物線です（x²の係数kがマイナスだから上に凸）
kx²+(3k+1)x+k>0とは
y>0のことですから、これを満たすｘがないということは、グラフ上ではy座標>0となるようなｘ座標を持つ点がないということです
すなわち、グラフのすべての部分がｘ軸より下…①にあるか、頂点とx軸が接するがこれ以上高い位置にはならない…②ということです
①のときグラフとx軸は交点を持ちませんよね
言い換えれば　kx²+(3k+1)x+k＝０は実数解を持たないということです
ゆえにD<0です・・・（あなたが考えた通り）
また②となるためにはD=0です
合わせてD≦０となります
②のほうを抜かさないようにしてください

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2020/03/10 12:49

もともと不等式だから、D<0 だったとしても

0＞0になっちゃうから、解なし。

たとえば、k=-1でやってみると、
-ｘ²-2ｘ-1＞0
（ｘ+1）²＜0
の解は 1>ｘ＞-1
なので、解がない範囲にｘ＝-1は含まれる。

・実数解がない≠虚数である
ということかな。