ストレンジ・アトラクターとは「カオス的な運動の軌跡を示す位相空間グラフ」ということは知っています。
それを描く方法を教えてください。パソコンでも素手でもかまいません。

ただ"Q.E.D.(漫画)"によると何かを三次元プロットすると出てくるそうですが,そこまでの過程なんか分かるはずがありません。
一応僕の知識は 数学:高校レベル 物理:高校レベル+ベクトル解析ちょっと ぐらいです。
パソコンはK6-2 525MHz メモリ 64MB グラフィックボード専用のメモリ 32MB です。Mathematicaなどのソフトはありません。
あるのはFunction ViewとMath'98だけです。

こんな僕でもストレンジ・アトラクターを描ける方法を教えてください。

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A 回答 (1件)

手書きではちと苦しいかもしれませんが、プログラムを組むならば比較的


簡単です。

> 何かを三次元プロットすると出てくるそうですが,そこまでの過程なんか分かるはずがありません

参考URLにローレンツ方程式のストレンジアトラクタのプロットについて
簡単に書いてあります。

開始地点の x,y,z と dt を適当に決めて、それぞれ算出した dx,dy,dz を
x,y,z に加算して、ということを繰返して、その過程で出てきた x,y,x を
プロットします。

ちょっと探してみたら Java の applet を載せているページがありました。
ソースもあります。

http://www.sat.t.u-tokyo.ac.jp/~hideyuki/java/At …


> あるのはFunction ViewとMath'98だけです

これらのソフトが何か知らないのですが、3次元プロットができるのならば、
これらでもできるはずです。

参考URL:http://funada11.denshi.numazu-ct.ac.jp/comp98/to …
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この回答へのお礼

返事が遅れてまことに申し訳ありません。m(_ _;)m
本当はもっと回答がほしくて先延ばしにしていたのですが…。限界のようです。

いいサイトを紹介していただきありがとうございました。

お礼日時:2001/08/25 14:36

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QMathematicaで条件を変えてプロット

Mathematicaで

y(x) = ax + b

といった式をaとbの条件を変えて同じグラフにプロットするにはどうしたらいいのでしょうか?


例えば、a=1 b=2、a=2 b=3についてそれぞれプロットするには

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とそれぞれ定義して同じグラフにプロットすることは出来るのですが、
条件が多い場合、また式が煩雑な場合となると大変になるので
簡単にする方法があれば教えていただきたいです。

Aベストアンサー

次のような,プログラムを作れば良いでしょう。

まず,定数部分(a,bなど)を変数として,式を作り,
その後,xを変数とする式を作れば良いのです。

例えば,y=ax+bについて考えて見ましょう。

y=2x+3
y=4x+5
y=6x+7

という3つの関数を考え,それぞれに3つのx(x=1,2,3)を代入したとき,
yの値を返すプログラムを作ります。

私はMaximaを利用していますので,Lispを使って,プログラムを示しました。
しかし,考え方はMathematicaでも,他の数式ソフトでも同様です。

その例を以下に示しました。

for i:1 thru 3 do(

M1 : matrix (
[2, 3],
[4, 5],
[6, 7]
),

[a,b]: [M1[i, 1], M1[i, 2]],

define (f(x), a*x+b),

y:f(x),
display(y),

for j:1 thru 3 do(

lst:[1,2,3],

x:lst[j],
y:f(x),


display([x,y]),

kill(x,y)
)
);

ここでは,まず
[2,3]
[4,5]
[6,7]

というデータ行列Mを,a,bに読み込ませています。

それぞれのa,bについて,define文で,関数f(x)を定義します。
ここで,必須ではありませんが,結果が見やすいように,
y=f(x) の定義をして,display文で出力します。

それぞれのy=f(x) について,lst(リスト)文で,
データ
[1,2,3]
をxに読み込ませて,最終結果を出力します。
これは3行1列のmatrix文
[1]
[2]
[3]
でも可能です。

a,bについて,3回の繰り返し計算(最初の行のfor i:1 thru 3)を行い,その1回ごとに,xの代入計算(真ん中のfor j:1 thru 3 )行います。

このプログラムではデータ行列をプログラムの中に組み込みましたが,別のファイルから読み込ませることもできるでしょう。

最終的にグラフにプロットが目的のようですが,こうして(x,y)が求まれば,それをプロットすればよいのでは?

Maximaによる出力結果は以下のようなものです。

y=2x+3
[x,y]=[1,5]
[x,y]=[2,7]
[x,y]=[3,9]
y=4x+5
[x,y]=[1,9]
[x,y]=[2,13]
[x,y]=[3,17]
y=6x+7
[x,y]=[1,13]
[x,y]=[2,19]
[x,y]=[3,25]
(%o2) done

次のような,プログラムを作れば良いでしょう。

まず,定数部分(a,bなど)を変数として,式を作り,
その後,xを変数とする式を作れば良いのです。

例えば,y=ax+bについて考えて見ましょう。

y=2x+3
y=4x+5
y=6x+7

という3つの関数を考え,それぞれに3つのx(x=1,2,3)を代入したとき,
yの値を返すプログラムを作ります。

私はMaximaを利用していますので,Lispを使って,プログラムを示しました。
しかし,考え方はMathematicaでも,他の数式ソフトでも同様です。

その例を以下に示しました。

for i:1...続きを読む

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Qカオスについて?

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応用例の解説など書かれたHP や その方法など書き込み頂けたらとおもいます。
よろしくお願いします。

(ちなみに深く数学に精通している訳ではなく、数学は比較的好きな学科だったという程度の者です。それから、計算ソフトはExcelを使用しております。)

Aベストアンサー

気温が適切な例かどうかはいささか怪しいにしても、(従って、翌日の気温の予測は無理だとしても)リアプノフ指数を出してみるなどして、統計的に「カオス的」でないかどうかを調べてみることはできます。

データの列が確率的な変動だと仮定して先を予測をしようとすると、線形予測よりましな方法はないことが証明されます。だけど、変動がカオスである、つまりおおざっぱに言って「デタラメに見えるけど実は決定論的である」とするなら、アトラクタの再構成をやって、どういう力学系で生成されているのかを調べることができます。現象が本当にカオスであれば、正確なデータをたくさん取れば幾らでも精密にアトラクタが再構成できるということが知られています。
多分ご質問はこの話だと思います。まずは下記URLが参考になるのでは?

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Q落ち葉の数式(カオス)

カオスについてちょっと調べてみたりしています。http://www.1101.com/morikawa/2001-07-30.htmlなどやその他で大まかにはわかってきたかな~ぐらいの者です。
質問なのですが、以前テレビでカオス式を使う事で落ち葉や雪の落ちる様もCGで再現したというのを見ました。しかし、y=ax(1-x)の描く線では無理な様なのですが、落ち葉や雪の落ちる様はどの様な式になるのでしょうか?
参考になるHPやy=ax(1-x)からの応用や式のご紹介など何かご存じありましたらご教授ください。とりあえずexcelでグラフ化して試して読解という事をやってみたりしています。

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よろしくお願いします。

Aベストアンサー

回答がないようなので、参考になるかどうかわかりませんが、ちょっと書きます。

自分も大分前ですが、カオスとかフラクタルをちょっと勉強したことがありまして、いろんな図形をエクセルで描いたことがあります。

参考にしたのは、フラクタル数学(1990年)、カオスとフラクタル(Excelで体験)(平成11年)などです。

y=ax(1-x)はロジスティック写像でこれから雪などを描くのは無理と思いますが、グモウスキー・ミラの写像というのがあり、パラメータを変えることによって、鳥の羽みたいなのとか太陽とか描けます。
また、(xn+1,yn+1)=A(xn,yn)+(a,b)の形で数列(xn,yn)を作ると、葉っぱとか龍のような形も描けます。
基本は自己相似写像を使って点をどんどん写していって図形を作るものと思います。
CGということで動画だと思いますが、たぶんパラメータを連続的に変えていって、図形を連続的に動かしているんでしょうか。詳しくは知りませんが。

ロジスティック写像、グモウスキー・ミラの写像、コッホ曲線などのキーワードで検索すればいろいろ見つかると思います。

ご参考まで。

回答がないようなので、参考になるかどうかわかりませんが、ちょっと書きます。

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