ストレンジ・アトラクターとは「カオス的な運動の軌跡を示す位相空間グラフ」ということは知っています。
それを描く方法を教えてください。パソコンでも素手でもかまいません。

ただ"Q.E.D.(漫画)"によると何かを三次元プロットすると出てくるそうですが,そこまでの過程なんか分かるはずがありません。
一応僕の知識は 数学:高校レベル 物理:高校レベル+ベクトル解析ちょっと ぐらいです。
パソコンはK6-2 525MHz メモリ 64MB グラフィックボード専用のメモリ 32MB です。Mathematicaなどのソフトはありません。
あるのはFunction ViewとMath'98だけです。

こんな僕でもストレンジ・アトラクターを描ける方法を教えてください。

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A 回答 (1件)

手書きではちと苦しいかもしれませんが、プログラムを組むならば比較的


簡単です。

> 何かを三次元プロットすると出てくるそうですが,そこまでの過程なんか分かるはずがありません

参考URLにローレンツ方程式のストレンジアトラクタのプロットについて
簡単に書いてあります。

開始地点の x,y,z と dt を適当に決めて、それぞれ算出した dx,dy,dz を
x,y,z に加算して、ということを繰返して、その過程で出てきた x,y,x を
プロットします。

ちょっと探してみたら Java の applet を載せているページがありました。
ソースもあります。

http://www.sat.t.u-tokyo.ac.jp/~hideyuki/java/At …


> あるのはFunction ViewとMath'98だけです

これらのソフトが何か知らないのですが、3次元プロットができるのならば、
これらでもできるはずです。

参考URL:http://funada11.denshi.numazu-ct.ac.jp/comp98/to …
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この回答へのお礼

返事が遅れてまことに申し訳ありません。m(_ _;)m
本当はもっと回答がほしくて先延ばしにしていたのですが…。限界のようです。

いいサイトを紹介していただきありがとうございました。

お礼日時:2001/08/25 14:36

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Q近頃、片手運転をしている運転手が多く又、そんな方程ボーー?として運転し

近頃、片手運転をしている運転手が多く又、そんな方程ボーー?として運転しますがどうしてキチンとした姿勢で運転しないんですか?そんな方がよく運転中に携帯で話をしてますが違反て知らないの?

Aベストアンサー

質問者さんは変な人間だけです。

QMathematicaで条件を変えてプロット

Mathematicaで

y(x) = ax + b

といった式をaとbの条件を変えて同じグラフにプロットするにはどうしたらいいのでしょうか?


例えば、a=1 b=2、a=2 b=3についてそれぞれプロットするには

y1(x) = x + 2
y2(x) = 2x + 3

とそれぞれ定義して同じグラフにプロットすることは出来るのですが、
条件が多い場合、また式が煩雑な場合となると大変になるので
簡単にする方法があれば教えていただきたいです。

Aベストアンサー

次のような,プログラムを作れば良いでしょう。

まず,定数部分(a,bなど)を変数として,式を作り,
その後,xを変数とする式を作れば良いのです。

例えば,y=ax+bについて考えて見ましょう。

y=2x+3
y=4x+5
y=6x+7

という3つの関数を考え,それぞれに3つのx(x=1,2,3)を代入したとき,
yの値を返すプログラムを作ります。

私はMaximaを利用していますので,Lispを使って,プログラムを示しました。
しかし,考え方はMathematicaでも,他の数式ソフトでも同様です。

その例を以下に示しました。

for i:1 thru 3 do(

M1 : matrix (
[2, 3],
[4, 5],
[6, 7]
),

[a,b]: [M1[i, 1], M1[i, 2]],

define (f(x), a*x+b),

y:f(x),
display(y),

for j:1 thru 3 do(

lst:[1,2,3],

x:lst[j],
y:f(x),


display([x,y]),

kill(x,y)
)
);

ここでは,まず
[2,3]
[4,5]
[6,7]

というデータ行列Mを,a,bに読み込ませています。

それぞれのa,bについて,define文で,関数f(x)を定義します。
ここで,必須ではありませんが,結果が見やすいように,
y=f(x) の定義をして,display文で出力します。

それぞれのy=f(x) について,lst(リスト)文で,
データ
[1,2,3]
をxに読み込ませて,最終結果を出力します。
これは3行1列のmatrix文
[1]
[2]
[3]
でも可能です。

a,bについて,3回の繰り返し計算(最初の行のfor i:1 thru 3)を行い,その1回ごとに,xの代入計算(真ん中のfor j:1 thru 3 )行います。

このプログラムではデータ行列をプログラムの中に組み込みましたが,別のファイルから読み込ませることもできるでしょう。

最終的にグラフにプロットが目的のようですが,こうして(x,y)が求まれば,それをプロットすればよいのでは?

Maximaによる出力結果は以下のようなものです。

y=2x+3
[x,y]=[1,5]
[x,y]=[2,7]
[x,y]=[3,9]
y=4x+5
[x,y]=[1,9]
[x,y]=[2,13]
[x,y]=[3,17]
y=6x+7
[x,y]=[1,13]
[x,y]=[2,19]
[x,y]=[3,25]
(%o2) done

次のような,プログラムを作れば良いでしょう。

まず,定数部分(a,bなど)を変数として,式を作り,
その後,xを変数とする式を作れば良いのです。

例えば,y=ax+bについて考えて見ましょう。

y=2x+3
y=4x+5
y=6x+7

という3つの関数を考え,それぞれに3つのx(x=1,2,3)を代入したとき,
yの値を返すプログラムを作ります。

私はMaximaを利用していますので,Lispを使って,プログラムを示しました。
しかし,考え方はMathematicaでも,他の数式ソフトでも同様です。

その例を以下に示しました。

for i:1...続きを読む

Q2階線形同次微分方程​式

以下の問題の解き方が理解できません。

途中の計算なども詳しく教えて頂けると幸いです。


(1) 2階線形同次微分方程式の関数と,二つの関数y1とy2および初期条件の対が与えられている.最初に二つの関数y1とy2が微分方程式の解であることを確認せよ.次に,初期条件を満たす特殊解を求めよ.

(1) y''-y=0; y1=e^x, y2=e^-x; y(0)=0, y'(0)=5


(2) y''+4y=0; y1=cos2x, y=sin2x; y(0) = 3, y'(0)=8


(3) y''-3y'+2y=0; y1=e^x, y2=e^2x; y(0)=1, y'(0)=0

Aベストアンサー

いずれも 2 次。
(3) をサンプルに堅実な手口で。
ほかも同様…なので割愛。

>(3) y''-3y'+2y=0; y1=e^x, y2=e^2x; y(0)=1, y'(0)=0

「最初」に「方程式の解であることを確認」
 y1=e^x → y1'=e^x → y1''=e^x  …(1)
 y2=e^(2x) → y2'=2e^(2x) → y2''=4e^(2x)  …(2)
     ↓
(1) を原方程式へ代入。
 y''-3y'+2y = e^x - 3e^x + 2e^x = 0  … OK
(2) を原方程式へ代入。
 y''-3y'+2y = 4e^(2x) - 6e^(2x) + 2e^(2x) = 0  … OK

一般解は、
 y = C1e^x + C2e^(2x)
 y' = C1e^x + 2C2e^(2x)
らしいから、これに「初期条件」 y(0)=1, y'(0)=0 を代入し、
 1 = C1 + C2  …(3)
 0 = C1 + 2C2  …(4)

残務は、(3), (4) から {C1, C2} を勘定すること…だけ。

  

いずれも 2 次。
(3) をサンプルに堅実な手口で。
ほかも同様…なので割愛。

>(3) y''-3y'+2y=0; y1=e^x, y2=e^2x; y(0)=1, y'(0)=0

「最初」に「方程式の解であることを確認」
 y1=e^x → y1'=e^x → y1''=e^x  …(1)
 y2=e^(2x) → y2'=2e^(2x) → y2''=4e^(2x)  …(2)
     ↓
(1) を原方程式へ代入。
 y''-3y'+2y = e^x - 3e^x + 2e^x = 0  … OK
(2) を原方程式へ代入。
 y''-3y'+2y = 4e^(2x) - 6e^(2x) + 2e^(2x) = 0  … OK

一般解は、
 y = C1e^x + C2e^(2x)
 y' = C1e^x + 2C2e^(2x)
らしい...続きを読む

Q大自由度カオス

カオスをネットなどで調べてなんとなくわかってきたところなんですが、大自由度カオスとはなんなのかがわかりません。
大まかな感じでもいいのでわかる方教えてください。

Aベストアンサー

普通カオスというのは、気象のLorenzモデルやマイヤーの非線形モデル等に見られるように、小数のパラメーター(小自由度)による、非線形の方程式で表現されます。(非線形であるためコンピュータを使って数値解を近似的に求めるしかありませんが)当然、その解は一意的に決定されるのですが、その解がパラメーターの微小な変化に大きく影響されるため、現実問題として、予測不能性を示すことになります。

大自由度カオスはパラメータの数が多くなりますので、決定論的にも求めることが難しくなります。そのため、統計的手法を使わざるを得なくなります。

わたしは、「統計的手法を用いたカオス理論」それが大自由度カオスだという把握をしています。

Q気体の状態方程についての質問が2つあります。

(1)気体の状態方程式PV=nRTにおいて、比例、反比例、一定値を選べ。
(1)n、Tが一定のときのPVとP
(2)n、Vが一定のときのPとT
(3)P、Vが一定のときのnとT

まず、上記3つの一定のときとはどういうことなのでしょうか?
答えの考え方を教えてください。

(2)ある液体物質を約10mlとり、容積500mlのフラスコに入れ、小さな穴をあけたアルミ箔でふたをして、沸騰水(100℃)で完全に気化させた後、放冷して液化したところ、残った液体の質量は1.20gであった。この液体物質の分子量を求めよ。ただし、大気は1.0×10^5Paとする。

PV=n/MRTに当てはめたとき
V=ある液体物質を約10mlと容積500mlのフラスコの2つがあてはまると思うのですが、計算のしかたはどうにすれば良いのでしょうか?

Aベストアンサー

(1)と(2)では難しさに大きな違いがあります。

(1)は式の中にある量と実験条件との対応です。
状態方程式をただ与えられた公式として使おうとしておられるようですね。それが得られた場面を考えるという作業が必要です。
ボイルの法則、シャルルの法則を習ったと思います。
容器の中に気体を入れて圧力や温度を変えて体積の変化を調べます。圧力や温度を変える時に容器の中の気体が容器外に漏れてしまうとダメだというのは実験上の注意としては当然のことです。学校で実験をする場合でも一番素直に納得してもらえることです。これは式でいうと「n:一定」という条件です。

ボイルの法則は
温度を一定に保って(温度が変わらないようにして)圧力を増加させると体積が減少する。体積は圧力に反比例する。

シャルルの変化は
圧力を一定に保って(圧力が変わらないようにして)温度を高くすると体積が増加する。体積は絶対温度(摂氏温度+273)に比例する。

ボイルの法則では「n,T:一定」という条件を使っています。
シャルルの法則では「n、P:一定」という条件を使っています。

ある量を一定にして考えるというのが状態方程式で初めて出てきたわけではないはずです。
状態方程式はボイルの法則とシャルルの法則、アボガドロの法則を1つの式にまとめたものですから同じ考え方を使っています。

習ったばかりで馴れていない表現ということでは(1)のPVとPの関係は戸惑うかもしれません。2つの量をまとめて1つの量として考える時の関係です。
Pを横軸、(PV)を縦軸にしてグラフを書くとPをかえてもPVは変わりません。一定になります。(#2、「PV/PはPに反比例」は見当違いの回答です。)
※実験値をグラフにするときに使います。ばらつきのある測定値を1つの式に当てはめる時は、曲線よりも直線の方が扱いやすいです。精度も高くなります。反比例の双曲線のグラフに合わせるのは難しいです。
実在の気体の体積、圧力の変化がボイルの法則にどの程度合うかを調べる時にも使います。
※反比例の関係の場合、V=a/Pは分かるがPV=一定がピンと来ないという高校生がかなりいるようです。数学で比例はy=ax、反比例はy=a/xという式で出てくるからです。

(2)
>PV=n/MRTに当てはめたとき
V=ある液体物質を約10mlと容積500mlのフラスコの2つがあてはまると思うのですが、

状態方程式のなかに出てくるP、V、T,nなどの文字に与えられた数字を代入して計算するということしかやったことがないという印象ですね。Vに入れる数字を探して体積と容積とで戸惑ってしまったということです。
10mLは「液体の体積」です。
状態方程式は気体について成り立つ式です。
気体は入れ物がなければ体積が決まりません。
その物質が気体になってフラスコの中全体に広がったとして初めて体積が分かることになります。
初め空気が入っていますから試料の蒸発が起こるとともに空気が全部追い出されて試料蒸気だけでフラスコなのかが満たされているという条件の確認が必要になります。直接調べるのが難しいので余分に試料を用意しておいてどんどん過熱すれば入れた液体が全部蒸発する頃には空気はなくなっているだろうと考ええています。空気と一緒に試料の蒸気もかなり(8割程度)出て行ってます。蒸気が出て行くのが止まるのは蒸気の圧力が大気圧に等しくなる所です。穴が小さいので空気が逆に入ってくるということはないだろうと考えます。
これで温度と体積、圧力が決まります。この3つの量から物質量が求められます。使う式はPV=nRTです。
(温度が~、圧力が~、体積が~である与えられているのではありません。実験条件から温度、圧力、体積が~であると読み取るのです。)

物質量nと質量m(教科書ではwと書いてある場合があります)が分かれば1モル当たりの質量Mが分かります。1モル当たりの質量をgで表した数値は分子量と同じ値になります。
(PV=nRT、n=m/M ですからPV=(n/M)RTという式はありません。)

フラスコを冷やして試料の蒸気を液体に戻すと穴から空気が入ってきます。フラスコの質量を測ると空気の分は共通ですから液体の部分の質量分だけ増加した値が得られるはずです。その質量が1.2gです。
※内部の蒸気が全て液体に戻ったということを確めるのは難しいです。
十分に時間をかければ「たぶんほとんど全てが液体に戻っているだろう」と仮定しての話です。
※それほど精度のある実験ではありません。
※質量が1.2gということで有効数字はほとんど1桁です。

(1)と(2)では難しさに大きな違いがあります。

(1)は式の中にある量と実験条件との対応です。
状態方程式をただ与えられた公式として使おうとしておられるようですね。それが得られた場面を考えるという作業が必要です。
ボイルの法則、シャルルの法則を習ったと思います。
容器の中に気体を入れて圧力や温度を変えて体積の変化を調べます。圧力や温度を変える時に容器の中の気体が容器外に漏れてしまうとダメだというのは実験上の注意としては当然のことです。学校で実験をする場合でも一番素直に...続きを読む

Qmath english

Three monkeys spend a day gathering coconuts together. When they have finished, they are very tired and fall asleep. The following morning, the first monkey wakes up. Not wishing to disturb his friends, he decides to divide the coconuts into three equal piles. There is one left over, so he throws this odd one away, helps himself to his share, and goes home. A few minutes later, the second monkey awakes. Not realizing that the first has already gone, he too divides the coconuts into three equal heaps. He finds one left over, throws the odd one away, helps himself to his fair share, and goes home. In the morning, the third monkey wakes to find that he is alone. He spots the two discarded coconuts, and puts them with the pile, giving him a total of twelve coconuts.
a.How many coconuts did the first two monkeys take?
b.How many coconuts did the monkeys gather in all?
どうやって解くのでしょうか?説明と答えをお願いします。

Three monkeys spend a day gathering coconuts together. When they have finished, they are very tired and fall asleep. The following morning, the first monkey wakes up. Not wishing to disturb his friends, he decides to divide the coconuts into three equal piles. There is one left over, so he throws this odd one away, helps himself to his share, and goes home. A few minutes later, the second monkey awakes. Not realizing that the first has already gone, he too divides the coco...続きを読む

Aベストアンサー

最初のサルの食べた個数をxとすると

3匹のサルが集めたココナッツの総数Nは

N=3x+1      (1)

1個は捨て、自分の分xを食べた。

残りは2x,これを第2のサルがy個に3等分したら1個余ったので

2x=3y+1      (2) 

第2のサルは自分の分y個を食べ1個捨てたので残りは2y個

3番目のサルはこの2y個とこれまでに捨てられた2個を足し多数のココナッツを得た。これが12個。

つまり

2y+2=12

y=5,これが第2のサルが食べた個数。(2)に代入して

x=8,これが第1のサルが食べた個数。(1)に代入して


N=25、これが総数。

答え

a.最初のサルは8個、次のサルは5個

b.全部で25個集めた。

Q2階線形同次微分方程​式

以下の問題の解き方が理解できません。

途中の計算なども詳しく教えて頂けると幸いです。


(1) 微分方程式の一般解を求めよ.

(1) y''-3y'+2y=0

(2) y''+5y'=0

Aベストアンサー

(1) y''-3y'+2y=0
特性方程式は
s^2-3s+2=(s-1)(s-2)=0 ∴s=1,2
したがって一般解は
 y=C1e^t + C2e^(2t) (但し、C1,C2は任意定数)


(2) y''+5y'=0
特方程式は
s^2+5s=s(s+5)=0 ∴s=0,-5
したがって一般解は
 y=C1 + C2e^(-5t) (但し、C1,C2は任意定数)

となります。

Qカオスについて?

いくつかのページ(例えばhttp://www.1101.com/morikawa/2001-07-30.html が私にはとりあえずわかりやすかったです。)を読んで、基本的なカオス波形の作り方は何となく理解できたのですが、これの応用としての、過去のデータから先の先を予想し割り出す といった方法を知りたく思っております。
例えば、A町の100日分の気温のデータがあったとして、A町の101日目の気温を予測するにはどのような式で予測をすることができるのでしょうか?
応用例の解説など書かれたHP や その方法など書き込み頂けたらとおもいます。
よろしくお願いします。

(ちなみに深く数学に精通している訳ではなく、数学は比較的好きな学科だったという程度の者です。それから、計算ソフトはExcelを使用しております。)

Aベストアンサー

気温が適切な例かどうかはいささか怪しいにしても、(従って、翌日の気温の予測は無理だとしても)リアプノフ指数を出してみるなどして、統計的に「カオス的」でないかどうかを調べてみることはできます。

データの列が確率的な変動だと仮定して先を予測をしようとすると、線形予測よりましな方法はないことが証明されます。だけど、変動がカオスである、つまりおおざっぱに言って「デタラメに見えるけど実は決定論的である」とするなら、アトラクタの再構成をやって、どういう力学系で生成されているのかを調べることができます。現象が本当にカオスであれば、正確なデータをたくさん取れば幾らでも精密にアトラクタが再構成できるということが知られています。
多分ご質問はこの話だと思います。まずは下記URLが参考になるのでは?

参考URL:http://pelican.nagaokaut.ac.jp/nlab/study/sakyo/study00/study00.html

Q方程

x≧0,y≧0,2x+y≦12,x+2y≦12のとき、5x+4yの最大値を求める方法で
まず、x≧0,y≧0,2x+y≦12,x+2y≦12を全て満たすような(x,y)の集合を
xy平面の領域として図示する方法がわかりません。

直線5x+4y=kが共有点をもつようなkの範囲の
最大値と最小値を求めれば良いそうですがどのようにもとめるのかわかりません。

そして、最大値はどのようにして求めるのでしょうか?

Aベストアンサー

教えるのが下手なのでこれ以上器用に説明するのは困難なのですが...がんばってみます。

> 2x+y=12の左下側
x+2y=12の左下側

の左下がよくわかりません。

領域というのは点をさしているのではなく、面を示しているのです。
紙に、端から端まで一本の線を引くと二つに分けられますよね。
例えば横に線を引けば上下に領域ができます。
線に沿って紙を切れば、2つの部分に分かれるでしょう。

今回の領域の境界線は直線なので、やっぱり二つにわかれます。
それを左下、右上としたのです。



>どうして、1/4が出るのですか?

5x+4y=k
4y=(5x+k)
y=(1/4)*(5x+k)
y=(5/4)x+(1/4)k

ですよ。


> xとyは
0≦x≦4 0≦y≦4

5x+4yにそれぞれ代入をして
20+16=36になりました。答えは合っているのですが
5x+4y=k の辺りがよくわかりません。

x,yの範囲は必要ないですよ
求めたいのはkの範囲です

先ほど求めた領域は(0,0) (6,0) (0,6) (4,4)
を頂点とする四角形になってます。

そこでこの領域と
y=(5/4)x+(1/4)k のグラフが重なる範囲をみつけるわけです。

具体的には

y=(5/4)x-1
y=(5/4)x+0
y=(5/4)x+1
y=(5/4)x+2
  ・
  ・
  ・
と書いていき、このグラフが領域にぎりぎり重なる場所を見つけるわけです。
(面倒かもしれませんが、領域の図とこれらのグラフを書いて考えてみてください)

重なり始めるのはグラフがどの点を通るときですか?
(0,0)を通るときになります。
ではこのときのkは?
5*0+4*0=0 k=0です

重なり終わりはグラフがどの点を通るときですか?
(4,4)を通るときになります。
ではこのときのkは?
5*4+4*4=36 k=36です

という感じです。

もしかして、中学校のときから数学が苦手じゃなかったですか?(違ってたらごめんなさい)
もしそうなら今のうちに中学数学の復習をしておいてもいいかもしれません。
苦手で放り出していたところが、結構役に立ったりするもです(私がそうでしたので)

教えるのが下手なのでこれ以上器用に説明するのは困難なのですが...がんばってみます。

> 2x+y=12の左下側
x+2y=12の左下側

の左下がよくわかりません。

領域というのは点をさしているのではなく、面を示しているのです。
紙に、端から端まで一本の線を引くと二つに分けられますよね。
例えば横に線を引けば上下に領域ができます。
線に沿って紙を切れば、2つの部分に分かれるでしょう。

今回の領域の境界線は直線なので、やっぱり二つにわかれます。
それを左下、右上としたのです。


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Q落ち葉の数式(カオス)

カオスについてちょっと調べてみたりしています。http://www.1101.com/morikawa/2001-07-30.htmlなどやその他で大まかにはわかってきたかな~ぐらいの者です。
質問なのですが、以前テレビでカオス式を使う事で落ち葉や雪の落ちる様もCGで再現したというのを見ました。しかし、y=ax(1-x)の描く線では無理な様なのですが、落ち葉や雪の落ちる様はどの様な式になるのでしょうか?
参考になるHPやy=ax(1-x)からの応用や式のご紹介など何かご存じありましたらご教授ください。とりあえずexcelでグラフ化して試して読解という事をやってみたりしています。

カオス波などに精通のある方やご存じの方、アドバイスやご助言をいただきたく思います。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

回答がないようなので、参考になるかどうかわかりませんが、ちょっと書きます。

自分も大分前ですが、カオスとかフラクタルをちょっと勉強したことがありまして、いろんな図形をエクセルで描いたことがあります。

参考にしたのは、フラクタル数学(1990年)、カオスとフラクタル(Excelで体験)(平成11年)などです。

y=ax(1-x)はロジスティック写像でこれから雪などを描くのは無理と思いますが、グモウスキー・ミラの写像というのがあり、パラメータを変えることによって、鳥の羽みたいなのとか太陽とか描けます。
また、(xn+1,yn+1)=A(xn,yn)+(a,b)の形で数列(xn,yn)を作ると、葉っぱとか龍のような形も描けます。
基本は自己相似写像を使って点をどんどん写していって図形を作るものと思います。
CGということで動画だと思いますが、たぶんパラメータを連続的に変えていって、図形を連続的に動かしているんでしょうか。詳しくは知りませんが。

ロジスティック写像、グモウスキー・ミラの写像、コッホ曲線などのキーワードで検索すればいろいろ見つかると思います。

ご参考まで。

回答がないようなので、参考になるかどうかわかりませんが、ちょっと書きます。

自分も大分前ですが、カオスとかフラクタルをちょっと勉強したことがありまして、いろんな図形をエクセルで描いたことがあります。

参考にしたのは、フラクタル数学(1990年)、カオスとフラクタル(Excelで体験)(平成11年)などです。

y=ax(1-x)はロジスティック写像でこれから雪などを描くのは無理と思いますが、グモウスキー・ミラの写像というのがあり、パラメータを変えることによって、鳥の羽みたいなのとか...続きを読む


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