テイラー展開とローラン展開は同じという事を聞いたのですが、なぜ同じなのでしょうか？ 同じ式ではなく、

テイラー展開とローラン展開は同じという事を聞いたのですが、なぜ同じなのでしょうか？
同じ式ではなく、近似式として働くという意味ではテイラーもローランも同じというわけでしょうか？

質問者からの補足コメント

• ちなみに、なぜ同じ式になってしまうのですか？たまたまですか？

    補足日時：2020/03/10 19:09

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/03/13 21:20

＞ (e^x)/xをx=0に関しては分母が'となるためローラン展開出来ないように思うのですが。

分母が 0 になるために、テイラー展開は不能で、それとは別のローラン展開が生じるのですが。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
確かにテイラー展開では、変数xが0の時は式が消えてしまうため使えないです。
ローラン展開は分母ではないですが、(z-a)が0になるz=aなどの点aではf(a)=A0と導かれるためテイラーとは違いローラン展開は式が作れるというわけでしょうか？

お礼日時：2020/03/13 22:18

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/03/13 20:04

テイラー展開

と
ローラン展開
の違いは
領域(定義域)が違うのです

テイラー展開
の領域は
中心を含む円板型
例)
|z-a|<R

ローラン展開
の領域は
中心を除くドーナツ型
例)
0<r<|z-a|<R

なのです

ローラン展開は
展開の中心を除く
領域がドーナツ型のため
展開の中心が
正則でなくとも定義できない特異点であってもよいのです

展開の中心で正則であれば
テイラー展開
と
ローラン展開
は
同じになります

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/03/10 19:12

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11512008.html
の No.3 に頓珍漢な返事が返ってきていたが、説明が悪かっただろうか。

ある関数が、ある点を中心としてテイラー展開可能な場合、
その関数の、その点を中心としたローラン展開はテイラー展開と同じになります。
ローラン展開の負数次の係数が全て 0 になって、
ローラン展開とテイラー展開が全く同じ式として一致するのです。
近似式として一致するという話ではありません。　←[1]

ならば、ローラン展開はテイラー展開と同じものかというと、そうではありません。
一致するのはテイラー展開が可能な場合だけで、
テイラー展開できないがローラン展開はできるという関数もあるわけです。　←[2]

[1] の例として、
e^x を x = 0 中心にローラン展開すれば e^x = 1 + x + (1/2)x^2 + … + (1/n!)x^n + …
であって、これは e^x を x = 0 中心にテイラー展開した級数と同じ式です。

[2] の例として、
(e^x)/x を x = 0 中心にローラン展開すれば (e^x)/x = 1/x + 1 + (1/2)x + … + (1/n!)x^(n-1) + …
ですが、(e^x)/x は x = 0 中心にテイラー展開することはできません。
この場合は、ローラン展開とテイラー展開は一致していないわけです。

この回答へのお礼

あの、(e^x)/xをx=0に関しては分母が'となるためローラン展開出来ないように思うのですが。

お礼日時：2020/03/13 21:01

No.2 回答者： アンドロメダシティ 回答日時： 2020/03/10 18:44

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11512008.html
本気でわかろうする気があるのかね。
そのうち誰も相手にしてくれなくなるよ。

この回答へのお礼

あなたは同じでないといっていましたが、では、
他の回答者様の解答は間違っているのですか？

お礼日時：2020/03/10 18:49

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2020/03/10 18:32

ここに綺麗に説明しあるので、ご参考にどうぞ。

https://eman-physics.net/math/imaginary10.html

この回答へのお礼

ローラン展開はテイラー展開を含んだ拡張版なのである。
とわかりましたが、
ローラン展開とテイラー展開は違う変数の式なのになぜ同じなのですか？

お礼日時：2020/03/10 18:43