級数の計算について

p を 0<p<1 である定数とするとき、
Σ(k=1,∞) p^(k^2-k) のような計算をしたいのですが、手計算でできますか？
あるいは、テータ関数なるものを使ってコンピュータによる数値計算を行わないと不可能なのでしょうか？また、具体的に p=5/6 の場合についての計算などをご存じの方は教えてください。

質問者からの補足コメント

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  早速のご回答ありがとうございます。
  しかし、p の指数が k の2次式なので等比級数ではないと思いますが？
  数値計算では、2.1723… となり、36/11 ではありません。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/03/20 09:19

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  ありがとうございます。
  でも、これだとコンピュータがすることを人が計算していることになります。
  手計算という言葉の意図は、明示的で有限項のpの式に代入して和を求めたいということですが…

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/03/20 17:29

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  No.３についてですが、いずれ求める値は超越数でしょうから、近似によって求めるしかないとすれば、この方法がベストなのかも。不等号は、…で省略された等比級数との比較ですね。

    補足日時：2020/03/20 18:41

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2020/03/20 07:54

初項１、公比はp^k(k+1)/p^k(k-1)=p^(k+1)/p^(k-1)=p^k*p/(p^k/1/p)=p^2

Σ(k=1,∞) p^(k^2-k)=1*(1-p^∞)/(1-p^2)=1/(1-p^2)
p=5/6では
1/(1-25/36)=36/11
となります。

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2020/03/20 11:58

公比はp^k(k+1)/p^k(k-1)={p^(k+1)/p^(k-1)}^k={p^k*p/(p^k/1/p)}^k=(p^2)^k

p^(k^2-k)は階差数列で初項１でｂｎ＝(p^2)^k
Sn=1+∑[k=2-(n)](p^2)^k=1+p^4(1-(p^2)^n-1)/(1-p^2)
n=∞で、Ｓ=1+p^4/(1-p^2)
p=5/6の時
Ｓ＝1+３６＊625/１１＊1296＝2.5782・・・

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/03/20 17:04

0<p<1

S=Σ_{k=1～∞}p^(k^2-k)
=1+p^2+p^6+p^12+p^20+p^30+…
≦1+p^2(1+p^4+…
=1+p^2/(1-p^4)
だから
p=5/6の時多くとも
S≦1+p^2/(1-p^4)≒2.341281669

S
≦1+p^2+p^6(1+p^6+…
=1+p^2+p^6/(1-p^6)
だから
p=5/6の時多くとも
S≦1+p^2+p^6/(1-p^6)≒2.197973174

S
≦1+p^2+p^6+p^12(1+p^8+…
=1+p^2+p^6+p^12/(1-p^8)
だから
p=5/6の時多くとも
S≦1+p^2+p^6+p^12/(1-p^8)≒2.175487826

S
≦1+p^2+p^6+p^12+p^20(1+p^10+…
=1+p^2+p^6+p^12+p^20/(1-p^10)
だから
p=5/6の時多くとも
S≦1+p^2+p^6+p^12+p^20/(1-p^10)≒2.172607277

S
≦1+p^2+p^6+p^12+p^20+p^30(1+p^12+…
=1+p^2+p^6+p^12+p^20+p^30/(1-p^12)
だから
p=5/6の時多くとも
S≦1+p^2+p^6+p^12+p^20+p^30/(1-p^12)≒2.172328021

No.4 回答者： konjii 回答日時： 2020/03/21 07:52

Ｓｎ＝Σ(k=1,n) p^(k^2-k)＝Σ(k=1,∞) p^k(k-1)=p⁰＋ｐ²＋ｐ⁶＋ｐ¹²＋・・・＋ｐ^(n-1)(n-2)+p^n(n-1)

Sn/p²＝Σ(k=1,n) p^(k-1)(k-2)=p⁰＋p⁰＋ｐ²＋ｐ⁶＋ｐ¹²＋・・・＋ｐ^(n-1)(n-2)
Sn-Sn/p²＝-p⁰＋p^n(n-1)
Sn(1-1/p²)=-p⁰＋p^n(n-1)
Sn={-p⁰＋p^n(n-1)}/(1-1/p²),n=∞で
Ｓ∞＝－１/{(p²-1)/p²}=-p²/(p²-1)
P=5/6の時
Ｓ∞＝-25/36/(25/36-1)=25/11=2.272727・・・

どや