【数3 積分法】 上と下の写真の公式と使い分けが分かりません。それがどう導かれるかは、理解しています

【数3 積分法】

上と下の写真の公式と使い分けが分かりません。それがどう導かれるかは、理解しています。しかし、なんで2つ教科書に載せるのかよくわかりません。

質問者からの補足コメント

• 例題では、最初に記載した写真と上下同じ順番で記載したのですが、前の写真の教科書の例題はこのようになっていました。
  似ているように見えて、しかも、どちらも前の写真の上の公式を使ってるように見えるのですが、何が明確に違うんですか？

  
    補足日時：2020/04/04 07:48

No.5 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/04/04 14:21

端的に置き換えの仕方に少しだけ違いがあります

詳細は次の通り

画像とは文字は違いますが、考え方の仕組みは同じなんで
∫f(x)dx=∫f(g(t))g'(t)dt …①
∫f(g(t))g'(t)dt=∫f(x)dx…②
の使い分けですよね
その時その時で自分で使いやすいと思えるほうを使えばそれでよいとは思うのですが・・・
（わたしも現役の高2で初めて置換積分を習ったときはどちらの公式かなんて言うことはあまり気にせずに
例題２：x²+1=uとおく　2xdx=duだから
与式＝∫(1/2)√(x²+1)2xdx=(1/2)∫√udu
というように　置き換えの仕方を考えることとその後の運用の仕方に重点を置いて考え、習得したものです）

ちなみに厳密には
例題１　
f(x)=∫x√x+1とみて
√x+1=tとおくと （ここが２との違い・・・√ごと置き換えるか　√の中身だけを置き換えるかという違い）
x+1=t²　⇔x=t²-1＝g(t)
dx=2tdt⇔g'(t)dtですから
∫f(x)dx=∫ｘ√x+1dx=∫{(t²-1)・t}・2tdt=∫{f(g(t))}・g'(t)dt
なんで一応①型をしていますよね
（いうまでもないかもしれませんが、　f(x)=∫x√x+1に　x=g(t)=t²-1を代入すると　f(g(t))=f(t²-1)=(t²-1)・tです)


例題2はあなたが考えた通りの理由で②型です

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/04/04 09:15

大切なことだから、もう一度書きます。

A=B と B=A は同じ式です。
そのふたつは同一の公式で、使い分けもへったくれもありません。
与えられた式中に左辺に似た形を見つけて右辺で置き換えるか
右辺に似た形を見つけて左辺で置き換えるかは、
式中に左辺に似た形があるか右辺に似た形があるか次第でしょう。
あ、あと、右辺に似た形を作り出したらうれしいか
左辺に似た形を作り出したらうれしいかも影響するか...
いづれにしろ、方法論ではなく各論ですよね。

No.3 回答者： ibm_111 回答日時： 2020/04/04 01:14

高校で学ぶ積分では，システマティック（アルゴリズミック）な積分は存在しないはずなので，

使い分けと聞かれても，使える方を使うとしか

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2020/04/03 22:59

＞上と下の写真の公式と使い分けが分かりません。

逆方向に使えばよいのです。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/04/03 22:15

A=B と B=A は同じ式だ。