置換した文字を元に戻すときに行っている変形がわからない

この動画で7分42秒の画面右側の下から2番目の式で、

x=-t, dx=-dt
\int^0^1 \frac{t^2 e^t}{1 + e^t} dt + \int_0^1 \frac{x^2}{1+e^x} dx
= \int_0^1 \frac{x^2(1+e^x)}{1+e^x} dx

となっていたのですが、ここで
\int^0^1 \frac{t^2 e^t}{1 + e^t} dt
を x に直すとき、なぜ exp の指数部分が -x になっておらず、
dx のマイナスも消えているのでしょうか？


手元で \int^0^1 \frac{t^2 e^t}{1 + e^t} dt を x についての積分に直すと
\int_0^1 \frac{x^2 e^{-x}}{1+e^{-x}} (-dx)
となってしまいました。

動画の答え自体が合っていることは計算機で確認したのですが、ここの箇所の変化だけがどうしてもわかりません。

ご教授よろしくお願いいたします。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2020/04/14 20:42

関数というのは、どのような変数で書こうが、形が同じであれば同じ関数です。

変数は単なる「記号」でしかありませんから。
たとえば、
　f(x) = x^2 /(1 + e^x)
と
　f(y) = y^2 /(1 + e^y)
　f(u) = u^2 /(1 + e^u)
は、同じ関数を違う変数記号で書いただけです。
つまり、ある関数があるときに、その変数をどんな文字に置き換えても関数の意味は変わりません。

画像の中でやっていることは、積分を２つの積分範囲に分割して、その片方で x=-t と置いて関数を書き換えています。その結果出来上がった「t の関数」で、上に書いたように変数「t」を別な文字に置き換えているのです。その文字が「x」というだけのことです。

つまり t=-x でもとに戻しているのではなく、上に書いたように関数の変数を t → x に置き換えているのです。
一つの積分記号の中で、関数の形と積分範囲さえ変えなければ、変数名を変えても結果は変わりませんから。

ただ書き換えるだけなら t → u でもよいのです。
ただし、ここでは t → x と置き換えることで「１項目と２項目の関数に共通部分がある」こと、それによって共通部分をくくれることを示しているのです。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/04/14 20:39

∫_{0～1}{(t^2)(e^t)}/{1+(e^t)}dt

の
tは内部変数なので
任意の変数に置き換えることができるので
tをxに置き換えるとき
x=-tと元に戻しているのではありません
x=tとしているのです