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y''+y=0 この微分方程式を解いてください。

また、y'''-y'=0を解けが分かりません。

これらの式は両辺をyで微分するのですか?
xがないので変数分離形は使用しないと思ったりするのですが・・・?

質問者からの補足コメント

  • うーん・・・

    計算サイトで計算したところc1cosx+c2sinxという答えでした。
    c1sinx+c2cosx どちらが正しいのですか?


    それとも、Cは不定だからどちらでも構わない・・?ですか?

    No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2020/05/06 20:18

A 回答 (7件)

y'' + y = 0 は定係数斉次線形微分方程式ですから、


特殊解を2つ y = f(x), g(x) と見つければ
y = A f(x) + B g(x) (A, B は定数) が一般解になります。
y'' = -y となる特殊解として、y = sin(x), cos(x) は知っていますね。
よって一般解は、y = A sin(x) + B cos(x) です。

y'' + y = 0 の両辺に y' を掛けてから x で積分すると
(y')² + y² = C (C は定数) であることが判ります。
ここから y = (√C)z と置いて z' = √(1-z²) を変数分離で解く
方法もありますが、平方根の符合の処理がゴタゴタしますね。

y''' - y' = 0 のほうは、 y' = z と置けば z'' - z' = 0 ですから
y' = z = A sin(x) + B cos(x) (A, B は定数).
両辺を x で積分して、y = -A cos(x) + B sin(x) + C (C も定数) です。
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この回答へのお礼

y''+y=0の答えがy = A sin(x) + B cos(x) ということですが、AとBは一体どこから出てきたのですか?

y=C1e(ax)sinBx+C2e^(ax)cosBxの式に当てはめて(λ1=a+ib,λ2=a-biより、a=0,b=1)答えが、y=C1sinBx+C2cosBxではないのでしょうか?

お礼日時:2020/05/06 19:11

> 計算サイトで計算したところc1cosx+c2sinxという答えでした。


> c1sinx+c2cosx どちらが正しいのですか?

ああ、そこですか。 そこで迷うようだから、No.1 で
y = A sin(x) + B cos(x) と
y = C1 sin x + C2 cos x との違いにも悩んだのですね。

積分定数の名前は、好き勝手につけるものです。
要するに y = (何か定数)sin(x) + (また別の定数)cos(x)
であればいいので、
y = A sin(x) + B cos(x)  (A, B は定数) でも
y = C1 sin x + C2 cos x  (C1, C2 は定数) でも
y = c2 sin x + c1 cos x  (c1, c2 は定数) でも
どれも同じ一般解を表しています。
y = (A+B) sin(x) + (A-B) cos(x)
= A( sin(x) + cos(x) ) + B( sin(x) - cos(x) ) (A, B は定数)
だってかまわないんですよ。
 
定数の名づけ方が違ったために、同じ解が一見違う解のように見える
というのは、微分方程式ではよくあることです。
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> c1cosx+c2sinxであれば問題ないですか?



y'' + y = 0 の一般解なら、
y = c1 cos(x) + c2 sin(x) (ただし c1, c2 は定数)
で問題ないです。

y''' - y' = 0 のほうは、No.1 では違っているので
No.4 を見てください。
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> y''+y=0の答えがy = A sin(x) + B cos(x) ということですが、AとBは一体どこから出てきたのですか?



n階定係数斉次線形微分方程式の解は、n次元のベクトル空間をなします。
よく「基本解」と言われるものは、そのベクトル空間の基底のことです。
No.1 は、その基底ベクトルとなる特殊解を見つけちゃえは済む。
y'' = -y となる y の例なら、sin(x) と cos(x) を知ってるはずだろう?と言っているのです。
{ sin(x), cos(x) } が解空間の基底なら、解は y = A sin(x) + B cos(x) と書けますね?

> 答えが、y=C1sinBx+C2cosBxではないのでしょうか?

不定係数が C じゃないと気に入らないならば
y = C1 sin(x) + C2 cos(x) と書いても全くかまいませんが、
sin(Bx), cos(Bx) は B = ±1 でないと y'' + y = 0 の解になりません。
代入してみれば判ることですよ。
この回答への補足あり
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この回答へのお礼

c1cosx+c2sinxであれば問題ないですか?

お礼日時:2020/05/06 20:09

あ、ホントだ。


z'' + z = 0 じゃないね。失敬失敬。

z'' - z = 0 なら、 z = e^(kx) を代入すれば
k の二次方程式になって基本解が2つ見つかる。
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例えば y' は厳密にいうと


y を何かの (y でない) 独立変数で微分した
という意味にしかならないので, 独立変数がなにかを指定しないと答えが書けない. 「y が t の関数だ」って思ってるときに y = f(x) になったら変でしょ?

ちなみに y'' - y = 0 の解に (実数を引数とする) sin や cos は出てこないのでちょっと気をつけよう.
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>xがないので変数分離形は使用しないと思ったりするのですが・・・?



y'' やら y''' の「チョン」は何の変数で微分しているということなのかな?
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