放物運動の問題について

初速Voで質量mの物体を投げ、水平方向にaはなれた場所にある鉛直壁に垂直に当てる時の投射角と物体の当たる高さを求める問題についてですが
水平方向、鉛直方向の運動方程式から時間で積分して各式を立て
当たる時間tを求めたところ
t=(Vosinθ)／g
θ=(1／2)sin^(-1)(2ag／Vo^2)
y=Vo^2／4g(1-√(1-(4a^2g^2)／Vo^4))
の解が出たのですが
他にも解があるらしいのですが分かりません
そもそも、自分の解もあっているか不安です
教えて頂けたら幸いです

No.6 回答者： yhr2 回答日時： 2020/05/12 12:21

No.4 です。

少し補足します。

#4 のように「解が2つある」ことに対しては、私も違和感があるのですが、

＞　A^2 = [1 ± √(1 - 4a^2 g^2/Vo^4)]/2 = sin^2(θ)

については、
　√(1 - 4a^2 g^2/Vo^4) < 1
であれば、正号・負号の両方とも
　0 < sin^2(θ) < 1
従って
　sin(θ) < 1
を満たします。

一方のみが解で、他方は解として不適である理由を見つけられませんでした。
どなたか、この辺の「考察」をしていただけると助かります。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/05/12 10:48

高さを忘れてましたが sinθ > 1 の解は無いので

解は1個のはず。V0とaからθが一意に決まったのに y(T)が複数あるのは変。

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2020/05/12 10:39

No.2 です。

失礼しました。問題をよく読んでいませんでした。

「鉛直壁に垂直に当てる」ということで、「鉛直方向の速度が 0 になるところで鉛直壁に当たる」という条件なのですね。

それであれば

＞「水平方向にaはなれた場所にある鉛直壁」に衝突するまでの時間 T は
＞　T = a/Vo*cosθ

が

＞＞t=(Vosinθ)／g
＞これは「最高点に到達する時間」

に一致するわけですね。

そうすれば

　a/Vo*cosθ = (Vo*sinθ)/g

より
　Vo^2 *sinθ*cosθ = ag
→　sinθ*cosθ = ag/Vo^2　　　　　①

2sinθ*cosθ = sin(2θ) を使って
　sin(2θ) = 2ag/Vo^2　　　　　　②


投げ上げてからの鉛直方向の変位は
　y(t) = (Vo*sinθ)t - (1/2)gt^2
なので、壁に衝突するときの高さは
　y(T) = (Vo*sinθ)(Vo*sinθ)/g - (1/2)g[(Vo*sinθ)/g]^2
　　　= Vo^2 *sin^2(θ)/g - (1/2)Vo^2 *sin^2(θ)/g
　　　= (1/2)Vo^2 *sin^2(θ)/g　　　　③

ということになるので、あとはこの「sin^2(θ)」の表し方を求めればよいことになります。
ここで、
　sinθ = A > 0
とおいて①を使えば
　A*√(1 - A^2) = ag/Vo^2
より
　A^4 - A^2 + a^2 g^2/Vo^4 = 0
これを解くと
　A^2 = [1 ± √(1 - 4a^2 g^2/Vo^4)]/2
という解が得られ、③に代入すると

　y(T) = (1/2)Vo^2 *{[1 ± √(1 - 4a^2 g^2/Vo^4)]/2}/g
　　　= (Vo^2 /4g)[1 ± √(1 - 4a^2 g^2/Vo^4)]

という2つの解が得られます。

質問者さんの得られた解答は、この複合のうちの「-」分かと思いますが、「+」ももう一つの解になると思います。
これは
　0 < θ < 90°
なので
　0 < 2θ < 180°
であり、この範囲であれば②が2つの解を持つことに対応すると思います。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/05/12 08:55

垂直方向の速度は V0sinθ で 重力加速度で減ってゆきます。

0になるのは

V0sinθ/g = T 秒後
壁に垂直に当たるには 垂直方向の速度が 0 でなければならないので
衝突は T 秒後です。

一方水平方向の速度は V0cosθで一定
従って衝突するまでの時間は a/(V0cosθ)

これが T と一致するわけですから

V0sinθ/g = a/(V0cosθ)
sinθcosθ=ag/V0^2=(1/2)sin2θ
→ θ=arcsin(2ag/V0^2)/2

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2020/05/12 00:24

「初速Vo」はどっち向き？

水平面から上方向に角度 θ ですか？

＞t=(Vosinθ)／g

これは「最高点に到達する時間」ですね。

水平方向の「等速運動」の成分は
　Vx = Vo*cosθ
で一定なので、「水平方向にaはなれた場所にある鉛直壁」に衝突するまでの時間 T は
　T = a/Vo*cosθ
ですよね？

何を計算されているのか、よく分かりません。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/05/11 23:24

考え方を変えてみるといい.

初速 Vo, 投射角 θ で投げ上げる. このとき, 「投げたのと同じ高さ」になるのは水平距離でどれだけだろうか.