場合の数の問題です。 A、Bが試合をして、先に4回勝った方が勝ち。 Aが先に4回勝ったのは何通り？

場合の数の問題です。

A、Bが試合をして、先に4回勝った方が勝ち。
Aが先に4回勝ったのは何通り？

これを樹形図にすると訳わかんなくなります。
簡単な方法はありますか？

No.4 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/05/16 01:10

樹形図なんて、およしなさい。

間違えるもとにしかなりません。
参考→ https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11639572.html

この問題の場合、Aが4回勝つまでにBが何回勝つかで場合分けすれば...
(1) Bが１回も勝たない場合、
　　各回の勝者は AAAA の 1通り。
(2) Bが1回勝つ場合、
　　4試合目までにAが3回Bが1回勝った上で5試合目にAが勝つので、
　　Bが勝つ試合の選び方を考えれば 4通り。
(3) Bが2回勝つ場合、
　　5試合目までにAが3回Bが2回勝った上で6試合目にAが勝つので、
　　Bが勝つ試合の選び方を考えれば 5C2 = 10通り。
(4) Bが3回勝つ場合、
　　6試合目までにAが3回Bが3回勝った上で7試合目にAが勝つので、
　　Bが勝つ試合の選び方を考えれば 6C3 = 20通り。
(5) Bが4回以上勝つことはない。
以上より、答えは 1 + 4 + 10 + 20 = 35通り。

No.3 回答者： springside 回答日時： 2020/05/15 22:20

No.2です。

>>AC1とかAC2とはなんですか？！

AC1、AC2ではなく、4C1、4C2です。

nCrは、「n個の中からr個を選び出す組み合わせの（場合の）数」を表します。
質問者さんは中学生かな。この記号は高校の数学で習うので。

ただ、よく考えてみたら間違えていました。

③
AAAとBBの並びを考えればいいが、まずAを並べて、その両端か間（全部で4つある）にBとBを配置すると考えると、
以下のような配置になる。

樹形図的に分類を考えて、以下のようになる。

［最初のBが1番目に来るとき］
BBAAA
BABAA
BAABA
BAAAB

［最初のBが2番目に来るとき］
ABBAA
ABABA
ABAAB

［最初のBが3番目に来るとき］
AABBA
AABAB

［最初のBが4番目に来るとき］
AAABB

上記計で、10通り。

④
AAAとBBBの並びを考えればいいが、まずAを並べて、その両端か間（全部で4つある）にBとBとBを配置すると考えると、
以下のような配置になる。

樹形図的に分類を考えて、以下のようになる。

［最初のBが1番目に来るとき］
最初にBが来て、その次はAAAとBBを並べる（BXXXXXという並び）が、それは上記③と同じ。10通り。

［最初のBが2番目に来るとき］
最初にABが来て、その次はAAとBBを並べる。それは、
　最初にAが来る：そのAの後ろがABB、BAB、BBAの3通り
　最初にBが来る：そのBの後ろがBAA、ABA、AABの3通り

［最初のBが3番目に来るとき］
最初にAABが来て、その次はABBを並べる。それは、ABB、BAB、BBAの3通り。

［最初のBが4番目に来るとき］
最初にAAABが来て、その次はBBを並べる。それは1通り。

上記計で、20通り。


①〜④を足して、25通り。



注：③と④は以下のようにすれば一発で計算できます。

③AAABBの5文字を並べる並べ方は、5!通り。
このうち、AAAの3文字を並べる並べ方である3!と、BBの並べ方である2!が重複しているから、求める場合の数は、5!/(3! 2!)=10通り。

これは、3つのAと2つのBを全て別々のものとして並べて(5!通り）、後から、AAAの3文字をそれぞれ同一視（3!で割る）し、BBの2文字をそれぞれ同一視する（2!で割る）という考え方。

④AAABBBの6文字を並べる並べ方は、6!通り。
このうち、AAAの3文字を並べる並べ方である3!と、BBBの並べ方である3!が重複しているから、求める場合の数は、6!/(3! 3!)=20通り。

これは、3つのAと3つのBを全て別々のものとして並べて(6!通り）、後から、AAAの3文字をそれぞれ同一視（3!で割る）し、BBBの3文字をそれぞれ同一視する（3!で割る）という考え方。


ただ、!（階乗の記号です）を習っていないとすると、これは中学生向きではないかな。

No.2 回答者： springside 回答日時： 2020/05/15 18:10

これ、樹形図にして解くような問題ではないと思うが。

「最後にAが勝って終わる」ということになるから、こういうふうに場合分けして数えるのがいい。

①全部で4試合のとき
最後はAが勝つので、残りの3試合を考えると、AAAの1通り

②全部で5試合のとき
最後はAが勝つので、残りの4試合を考える。
AAAとBの並び方を考えればいいが、まずAを並べて、その両端か間（全部で4つある）にBを配置すると考えると、
4つから1つを選ぶ場合の数だから、4C1=4通り。

③全部で6試合のとき
最後はAが勝つので、残りの5試合を考える。
AAAとBBの並びを考えればいいが、まずAを並べて、その両端か間（全部で4つある）にBとBを配置すると考えると、
4つから2つを選ぶ場合の数だから、4C2=6通り。

④全部で7試合のとき
最後はAが勝つので、残りの6試合を考える。
AAAとBBBの並びを考えればいいが、まずAを並べて、その両端か間（全部で4つある）にBとBとBを配置すると考えると、
4つから3つを選ぶ場合の数だから、4C3=4通り。

上記計で、15通り。

この回答へのお礼

AC1とかAC2とはなんですか？！

お礼日時：2020/05/15 20:12

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2020/05/15 18:01

引き分けがないなら、試合数は、最小で4回、最大でも7回ですね。

しかも、最終回は必ず「Ａの勝」でないといけない。
各々の回数ごとに、何通りか数えればよい。