解を実関数で表すには？

p''+4p'+5p=0 という微分方程式を解こうとしています。
問題には解を実関数形式で求めるように、という但し書きがありました。
しかし特性方程式より p^2+4p+5=0 で、解の公式を用いて {-4±√(4^2-4*5)}/2
となり、微分方程式の解が実数ではなく虚数を含む形となってしまいます。

どのようにすればこの微分方程式を上記の制約を守り解くことができますか？
ご教授よろしくお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2020/05/22 08:15

あのねぇ、「特性方程式が虚数解を持つから、その微分方程式の解が実関数ではなく複素関数である」ということは全くないよ。

どこかに書いてあった？
教科書をよく読むべし。

本問の場合は、特性方程式の解がp=-2±iだから、微分方程式の解は、p(x)=e^(-2x) {C1sin(x)+C2cos(x)} (C1、C2は定数)となる。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/05/22 10:23

>しかし特性方程式より p^2+4p+5=0 で、解の公式を用いて {-4±√(4^2-4*5)}/2

>となり、微分方程式の解が実数ではなく虚数を含む形となってしまいます。

特性方程式が共役な複素数解を持つということは、
解が振動を含むということです。ちゃんと実関数にできますよ。

Ae^{(a+ib)t} + Be^{(a-ib)t}
は A = B=p/2 とおけば
=(p/2)[e^{(a+ib)t} + e^{(a-ib)t}] = (p/2)e^(at){e^(ibt) + e^(ibit)}
=pe^(at)cos(bt)

A = -B = -iq/2 とおけば
=(-iq/2)[e^{(a+ib)t} - e^{(a-ib)t}] = (-iq/2)e^(at){e^(ibt) - e^(ibit)}
=qe^(at)sin(bt)

つまり合わせると適当な定数 r、φで

解=re^(at)sin(bt + φ)

ということ。