高3の複素数の問題で、どうしても分からないものがあります。分からずずっと悩んでます。 青チャートの問

高3の複素数の問題で、どうしても分からないものがあります。分からずずっと悩んでます。
青チャートの問題だった気がしますが、、

①α＝1/2(√3+i)としてα-1を極形式で表せ。
② ①の結果を用いてcos5/12πを求めよ。

No.1 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/05/24 16:27

α=cosA+isinA

-1=cosB+isinBとおくことができるので

α-1=cosA+cosB+i(sinA+sinB)
={2cos((A+B)/2)}{cos((A-B)/2)}+i{2sin(A+B)/2}{cos(A-B)/2}　＜＜＜和積の公式
=2cos((A-B)/2)・(cos(A+B)/2+isin(A+B)/2)…①
α＝1/2(√3+i)から　A=π/6
-1=cosB+isinBから　B=πだから
(A+B)/2=7π/12
(A-B)/2=-5π/12

よって　①の続き＝2cos(-5π/12)(cos7π/12+isin7π/12)
=2cos(5π/12)・(cos7π/12+isin7π/12)

(2) α-1=1/2(√3+i)-1=(1/2)(√3-2+i)
の(√3-2+i)部分について　
ｒ＝√{(√3-2)²+1²}=√(8-4√3)=√2・√(4-2√3)=√2(√3-1)=√6-√2だから
(√3-2+i)=(√6-√2)(cosC+isinC)の形に表せる
⇔α-1=(1/2)(√3-2+i)＝(1/2)(√6-√2)(cosC+isinC)
(1)の答えと比較して
2cos(5π/12)=(1/2)(√6-√2)
⇔cos(5π/12)=(1/4)(√6-√2)

この回答へのお礼

非常に丁寧でわかりやすい説明ありがとうございます！！！
助かりました！

お礼日時：2020/05/24 17:17