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(1)2·1+5·3+8·3^2+···+(3n-1)3^3n-1

(2)1/2+2/2^2+3/2^3+···+n/2^n

次の和を求めよ

教えて下さい

答えは(1)が(3/2n-5/4)3n+5/4
(2)が2-2^1-n-n2^-n

A 回答 (2件)

夕方回答しておいたんだけどな・・・


(1)Sn=2·1+5·3+8·3^2+···+(3n-1)3^3n-1 …①とおく
両辺3倍
3sn=    2·3+5·3^2+8·3^3+···+(3n-1-3)3^3n-1+(3n-1)3^3n…②
①-②
-2Sn=2·1+3·3+3·3^2+3·3^3+···+3・3^3n-1-(3n-1)3^3n
3·3+3·3^2+3·3^3+···+3・3^3n-1 部分は初項9、公比3 項数n-1の等比数列の和だから、等比数列の和の公式利用でまとめられる
そうしたら 右辺を整理してあげると (-3n+5/2)3n-5/2になるから
-2Sn=(-3n+5/2)3n-5/2
両辺-2で割ればSnが求まる

(2)Sn=1/2+2/2^2+3/2^3+···+n/2^n
(1/2)Sn=  1/2^2+2/2^3+···+(n-1)/2^n+n/2^[n+1]
として引き算
あとは(1)と同じ要領で 等比数列の和を求め式を整理
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←No.1


最近、回答のついた質問を削除→同じ質問を再投稿
が頻発しているからね。それがサイトの運営方針ならしかたがない。

解答は No.1 のとおり。
式は「…」を使って書くよりも Σ で書いたほうが
計算内容が解り易い気がする。

(1)
S(n) = Σ[k=1..n] (3k-1)3^(k-1), ←ほらね、確認すると書き間違いも判る
3S(n) = Σ[k=1..n] (3k-1)3^k = Σ[j=2..n+1] (3j-4)3^(j-1).
引き算して、
3S(n) - S(n) = { Σ[k=2..n] (3k-4)3^(k-1) + (3n-1)3^n }
      - { 2・1 + Σ[k=2..n] (3k-1)3^(k-1) }
     = Σ[k=2..n]{ (3k-4)3^(k-1) - (3k-1)3^(k-1) }
      + (3n-1)3^n - 2・1
     = Σ[k=2..n]{ -3^k } + (3n-1)3^n - 2
     = -9{ 1 - 3^(n-1) }/(1 - 3) + (3n-1)3^n - 2
     = (1/2){ 5 + (6n - 5)3^n }.
よって、S(n) = (1/4){ 5 + (6n - 5)3^n }.

(2) も同様。
T(n) = Σ[k=1..n] k(1/2)^k,
(1/2)T(n) = Σ[k=1..n] k(1/2)^(k+1) = Σ[j=2..n+1] (j-1)(1/2)^j.
引き算して、
(1/2)T(n) - T(n) = { Σ[k=2..n] (k-1)(1/2)^k + n(1/2)^(n+1) }
        - { 1/2 + Σ[k=2..n] k(1/2)^k }
       = Σ[k=2..n]{ (k-1)(1/2)^k - k(1/2)^k }
        + n(1/2)^(n+1) - 1/2
       = Σ[k=2..n]{ -1(1/2)^k } + n(1/2)^(n+1) - 1/2
       = (-1/4){ 1 - (1/2)^(n-1) }/(1 - 1/2) + n(1/2)^(n+1) - 1/2
       = -1 + (n + 2)(1/2)^(n+1).
よって、T(n) = 2 - (n + 2)/2^n.
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