円周上に適当な点を2つとり、それらを結ぶ直線の垂直二等分線は円を二等分しますが、これを証明してくださ

円周上に適当な点を2つとり、それらを結ぶ直線の垂直二等分線は円を二等分しますが、これを証明してください。

No.4 ベストアンサー 回答者： konjii 回答日時： 2020/05/30 05:48

円の中心点Ｏと円周上の適当な２点Ａ，Ｂからなる三角形ΔＯＡＢは2辺が半径ｒの三角形なので二等辺三角形。

この、二等辺三角形の頂点Ｏから二等分線を引き、辺ＡＢとの交点をＭとすると、二等分線の定理から
ＡＭ：ＢＭ＝ｒ：ｒ
となって、交点Ｍは辺ＡＢの中点になる。
三角形ΔＯＡＢの∠ＡＯＢ＝ｘ°、∠ＯＡＢ＝∠ＯＢＡ＝ｙ°として
ｘ°＋２ｙ°＝１８０°から
1/2ｘ°＋ｙ°＝９０°
ΔＯＡＭの、∠ＯＭＡ＝１８０°－（1/2ｘ°＋ｙ°）＝９０°
よって、
辺ＯＭは辺ＡＢの垂直二等分線で円の中心点Ｏを通るので、辺ＯＭを延長した線はその円を二等分する。

No.3 回答者： livetolive 回答日時： 2020/05/30 05:44

早速のお礼のコメントありがとうございます。

問題が要求している証明方法はわからないのですが、以下のように説明できます。

逆に半円の弦の垂直二等分線は円の中心点をとおります。何故なら、中心点から円周までの距離は半径となるから。
中心点から円周と交わる点までの垂直二等分線上の任意の一点でこれと垂直に交わる直線を引くと、問題に記述されている円周上の任意の二点のうちの一つになります。

この半円上で円周上の２点と交わる直線を隙間ないように書いてしまうと半円上の任意の２点はすべて埋め尽くされてしまいます。
この半円を中心点を軸にして少しずつ回転していくと、円周上の任意の２点が３６０度すべて埋め尽くされてしまいます。

No.2 回答者： livetolive 回答日時： 2020/05/30 05:03

円弧の弦の部分の垂直二等分線は必ず円の中心点を通るから。

円周上の任意の1点から円の中心点を通る直線は円を二等分する。
これより先の証明はわかりません。

別の証明です。
白い紙に円を書いて、円の中心をとおり円を二等分する直線を書きます。
透明なシート上に円を書き問題に書かれている直線と垂直二等分線を書きます。
白い紙の円の上に透明なシートを重ねて、それぞれの円と垂直二等分線がピタリと一致するようにします。垂直二等分線が円を二等分していることがわかると思います。
円周上の任意の二点はどこをとっても同じことになるので、これで証明は終わりです。
ただし、こういう証明の方法は試験では×になります。

なお、垂直二等分線と円周が交わる点と最初の任意の二点を結ぶと二等辺三角形になります。これが半円上に書かれると直角二等辺三角形になります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
弦の垂直二等分線が円の中心を通ることはどのようにして上できますか？

お礼日時：2020/05/30 05:23

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/05/30 01:02

△ABC を AB=AC の二等辺三角形とすると, 辺 BC の垂直二等分線は A を通る.