円の面積について

Question

円の面積を求める時に円周率を使いますよね。
そして円周率は無限に続きますよね。
って事は、円の正確な面積って求められないんですか？

それとも、円周率が無限に続く以上、正確な真円などと言うものは存在しないのでしょうか？

ency · Accepted Answer

No9 ency です。

> なぜ円周率が無限に続いてしまうのか？
> と置き換えてください。

数直線上で考えてみましょう。
円周率πの位置は一点に決まります。
それは良いですか？
「○○～△△の範囲のどこか」
というあいまいな話ではなく、きちんと一点に決まるのです。

その点を10進数の目盛に当てはめてみたときに、その目盛をどこまで細かくとっても、πの点が目盛上に乗らないというだけのことです。

> しかし、真円は現実世界に存在しないので、現実世界にある、正１００億角形や、
> 正１兆角形の円ならば、円周率も有限になるのでは？と思うのです。

果たしてそうでしょうか。
正三角形を考えてください。
この場合、一つの頂点から対辺への垂線が直径に相当することになると思いますが、この場合ときの円周率に相当する値が有限小数になるのか、無限小数になるのかは、簡単に確認できると思います。

roop11 さんの主張は、無限小数は長さとして適切ではない、ということなのでしょうか。
もしそうであれば、たとえば 1/3 = 0.33333… も長さとして適切ではないということになりますが、そんなことはありませんよね？
最初にご説明しましたとおり、10進数の目盛上にうまくのらないだけで、数直線上の一点を指していることに違いはありません。

長さとは、数直線上の2点の最短距離ですから、長さが無限小数になったとしても問題なないわけです。

それを正確に再現できるかどうかは、また別の話です。
その場合については、No9 で説明したとおりです。

こんな説明で、おわかりになるでしょうか？

ency · Answer

結局のところ、「円周率πはなぜ無限小数なのか？」ということが、roop11 さんのお知りになりたいことなのでしょうか。

それは、二等辺直角三角形について斜辺の他の辺 (等辺) に対する比が無限小数 (√2) になるのはなぜか？と言っているのと同じだと思うのですが。。。
これは「なぜ？」というものではなく、そのような比の図形であるとしか言いようがないと思います。

同様に、円周の直径に対する比 (円周率) が無限小数 (π) になるのは、円がそのような図形であるからとしか言えないと思います。
もっと言えば、比を求めてみたら、たまたま3.141592…という無限小数で、それをπという文字で表すことにしたという感じだと思います。

以上、私の推測のみです。
ただし、大きくはずしてはいないと思うのですが、いかがでしょうか。＞詳しい方フォローあればお願いします。

とりあえず、こんな感じでいかがでしょうか？

superjapan · Answer

あ、あと、一応、下に書いたアドバイスを元に、円について考えてみて下さい。
それでも理解することが出来ないというのであれば、もう私の下手な説明では力量不足です。私の説明能力の欠如です。他の方の説明にお任せします。
もうこれ以上私では無理ですので、下の回答を最後にさせていただきます。お力になれなくてすみませんでした。お詫び申し上げます。m(_ _)m

superjapan · Answer

＞現実にある円の円周率も無限ですか・・・
まあ、分かっているとは思いますが、一応、言っておきます。そんなこと一言も言ってないんですけど…。^^;　どこまで細かく見るのか基準を定めれば、無限の場合もありうるし、有限の場合もありうると言っただけです。

＞でも、無限である確率が高いって事はまだ良く解
＞ってないって事なんでしょうか？
違います。わかっています。証明もちゃんとされています。
そういうことを言っているのではありません。

説明が難しいのですが、以下をじっくりと考えてみてください。次のような感覚が貴方の中に今まであったでしょうか…？一応、イメージです。文字を打つだけでは説明に限界がありますが…。

「－」←これを拡大します。

「■■■■■■」←こうなりました。さらに拡大します。

「■■■■■■■■■■■■
　■■■■■■■■■■■■」←こうなりました。
さらに拡大します。

「■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■」
↑
こうなりました。さらに拡大……この作業をどんどん続けていくイメージを持っていますか？

「－」←これをどんどん細かくするイメージを頭の中で膨らませてみてください。
そして、「－」の面積を求めよ。という問題をどこまで貴方は詳しく求めればよいと思いますか？考えてみましょう。

あと、思い込みを捨ててみる努力をしてみることをお勧めします。まだご自分で見当違いな考え方をしているということに気づかれていませんよ。貴方が無限について持っている概念はまったくの誤謬です。その固定観念を捨て去らない限り、いつまでたっても理解することはできないと言っておきます。
ともあれ、がんばってみてくださいね。

Zero-Wing · Answer

質問者さんは「円周率が無限に続くから正確な真円は存在しない」って何度か言っておられますが、仮に（あくまで仮にですよ）円周率が有限であったとしても、正確な真円を描くことはできないでしょう（間違ってるかも・・・）。正確な真円とは、（定義は知りませんが）一切角がなく、またゆがんでないもののことです。現実世界で描く以上、いかなるもので描いてもその線は多少でこぼこになってしまい、角ができてしまうのです（多分、楕円とかでも角がないものは無理なんじゃないかな）。その意味で言えば、正確な正方形とかも、どうしても辺が多少でこぼこになってしまうので、描くことは無理です。
　あと、円周率（=π）が無限に続くことを不思議がっていますが、あくまで我々の今までの数え方だと円周率が『中途半端な』数字というだけのことです。中途半端だから、きっちりと示すことができず、無限小数になってしまうのです。
　しかし、だからといって（想像上の）真円の正確な面積を求めることはできないかというと、そういうことではありません。半径が1の円の面積は「π」であり、これは十分正確な値です。無限に続くということは逆にそれだけ精度が高いということでもあります。
　実際に存在している、正確でない円は面積を求められるのかということも言っていますが、これも、仮に求めても、出来るだけ高い精度を求めるならば、結局は無限小数になってしまいます。まぁ、無限小数でも上で書いたとおり十分正確な値ではあるんですが。でも、実際は細かいでこぼこが多数存在しているわけですから、想像上の真円よりも実際に存在する円のほうが面積を求めるのは難しいのではないでしょうか？

shkwta · Answer

「円周率が無限に続く」と何度もお書きですが、この「無限に続く」というのは小数の桁が（残り全部０にならないで）無限に続く（つまり無限小数）という意味ですね。

それなら、つぎのものも無限小数です。上は有理数で下は無理数ですが。
１÷３
√２

円でなくて、正多角形（正１００万角形とか正１兆角形とか）なら有限小数になると思い込んでおられるようですが、全然そんなことはありません。円に内接する正多角形の周りの長さと、半径の比は無理数になりますので、無限小数です。

図形同士のいろいろな寸法の比が、みな有限小数、あるいは有理数でなければならない理由はどこにもありません。また、無理数がなければ図形に関する計算はほぼ不可能になってしまいます。無理数は、図形に関する計算を不正確にするものではなくて、逆に正確な計算にどうしても必要なものなのです。

コンパスで描いたらどうかという話は、やめましょう。コンパスで描いたあの図形は「ある許容誤差の範囲で円に近いもの」にすぎません。

ency · Answer

roop11 さんは「円の面積を正確に求められない」というのを、どのような意味で使用しているのでしょうか。

数学的に正確にという場合には、π以上に正確な値はありません。
記号で表されていますが、数直線上の一点を指す、れっきとした値です。

長さを測って、そこから円の面積を求めるという場合には、そもそも長さを計る時点で誤差を生じます。
正確に 5cm を測りとることは不可能です。

そこで「有効数字」という考え方が重要になります。
たとえば定規で測った場合、目盛は 0.1cm (=1mm) までありますよね。
通常「最小目盛の1/10」を有効数字としますので、5cm を測りとった場合には、それを「5.00cm」を表します。
これは、測りとった長さが 4.995cm～5.004cm の範囲にあることを意味します。
逆に言うと、定規ではそれ以上の精度で長さを測ることができないということになります。

で、この場合、頭の数字 (この場合「5」ですよね) から数えて 3桁目までが信用できる値で、4桁目以降は誤差を含むことになるので「有効数字 3桁」ということになります。

足し算・引き算の場合には、小数点以下の桁数で精度が決まりますが、掛け算・割り算では有効数字で精度が決まります。
つまり有効数字の小さい値が精度を決定することになってしまうのです。

半径 5.00cm の円の面積の場合、円周率の精度をどれだけ正確にとったとしても、長さのほうが有効数字 3桁であるため、結局は結果も有効数字 3桁までしか正しくない、4桁目以降は誤差を含んでいる、ということになってしまうのです。
ですので、円周率としては有効数字 3桁をとって「3.14」を使えば十分だということになります。
# 場合によっては、有効数字＋１桁とる場合がありますが、
# その場合でには「3.141」を使うことになります。

小学校の教科書で円周率を 3.14 と有効数字 3桁で表しているのには、そのような意味があると私は考えていますが…考えすぎですかね？
# 一時期、円周率が 3になったこともあったようですが、最近また 3.14 に
# 戻りましたよね？ 

こんな感じでいかがでしょうか？

superjapan · Answer

＞面積が2.000000・・・（以下無限）
＞の正方形は理論上描けないって事でしょうか？
＞いや、２に限らずどんな数字でも精度を無限に求め
＞たら描けないのか・・・
はい。描けません。想像の中にあるだけです。

＞あ、もしかして、真円って言うのは正無限角形っ
＞て事なんでしょうか？
＞角を増やせば増やすほど真円
＞に近づいていく。
そうです。というより、そういう考えもあります。

＞だから究極の真円の場合、直径に対する周の比率
＞である円周率も無限に続いてしまうんですかね？
「だから」とは言えません。前の正方形の例で言うと、角の総数が４つで有限個でも、たとえば、面積は√２と出る場合もあるからです。

＞て事は、自然界に存在する限りなく真円に近
＞い円・・・
＞これの円周率は有限なんでしょうか？
有限とも無限とも言えません。なぜならば、有理数と無理数は無理数のほうが多いので、
（循環しない）無限（少数）の確率が高いといえます。

superjapan · Answer

No.5で答えた者です。

では、roop11 さんに質問です。以下の２題についてちょっと考えてみてください。回答は下に書いてしまいますが、見ないでちょっと考えてから見ることをお勧めします。

（問題１）面積が４である正方形は存在するか？存在するなら、その正方形の一辺の長さはいくつか？
（問題２）面積が２である正方形は存在するか？存在するなら、その正方形の一辺の長さはいくつか？

…どうでしょうか？
（問題１）（問題２）どちらの正方形も明らかに存在しますね。しかし、（問題１）の正方形の一辺の長さが２であるのに対して、（問題２）の正方形の一辺の長さはいくつでしょうか？○×○＝２となる数はが見つからないからといって、存在しない理由にはなりませんよね。
表面上は見つからないだけで、存在していることは間違いないのです。しかし、たとえば、「２！」などのようにはっきりと言い切れませんね？当たり前です！だって、この数は無限に続くんですもの…。1.41421356……と無限に続きますよ。無限に続くから、この数は存在しないのでしょうか？そんなことはありません。この数もπ=3.141592653……と同じように、ちゃんと存在するのです。ちなみに、この数を√２と言います。
√２=1.41421356…は面積が２の正方形の一辺の長さですね。
それと同じで、
π=3.141592653…は半径１の円の面積ですね。

「２」は有限で「π=3.141592653…」は無限というものを受け入れがたいのならば、次のように考えてみてはいかがでしょう？
2=2.00000000000000000000000000000000000000000……
と「無限に」続きます。
π=3.14159265358979323846264338327950288419716……
と「無限に」続きます。
どちらも「無限」です。

さて、「2」は存在するのに、「2.00000000000…」は存在しないと言うでしょうか？

計量カップに水をいれて丁度「２」のところに入れたつもりでも、
2.0000000000000000000000000000000000000000３
かもしれませんよ。

π＝3.141592653……
という数も、これと同じです。ただ、これが無限に続くだけです。
目には見えないけれど、確かに存在してますよね。
でも、計算する時、
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360011330530548820466521384146951941……
のように書くわけにはいきませんから、
「じゃあ、代わりに一言でπと書きましょう！」
ってことなんです。

最後に。
（１）一辺の長さが１である正方形の面積は？　答え。1.00000000…と書くのは無理だから、１と書く。
（２）半径１の円の面積は？　答え。3.141592653…　と書くのは無理だからπと書く。
まあ、こんな感じです。

shkwta · Answer

円周率πは無理数と呼ばれる数の一種です。

0.3333… は無限に続く小数ですが、分数で1/3と表わせます。このように、整数/整数で表わせる数を有理数といいます。整数/整数で表わせない数を無理数といいます。

次のような数も無理数です。
（ア）一辺の長さが１の正方形の、対角線の長さ＝√２
（イ）一辺の長さが２の正三角形の面積＝√３

πや√２や√３は、小数で表わせば無限に続きますが、正確な数です。この場合の《正確》とは、好きなだけ精度を上げて計算できるという意味です。πを百万桁計算することも、１兆桁計算することも（人の一生で終わるかどうかは別として）理論的には可能です。たとえ誰もまだ計算していなくても、πのすべての桁はもう決まっているのです。

これに対して、コンパスで描いたり、ひもで測ったものは好きなだけ精度を上げることはできません。描いたり、測ったりするたびに、少しずつ違うものになってしまいます。

数学では、πや√２や√３といった記号を使って、無理数を正確に表わします。すべての無理数にこのような記号があるわけではありません。ほとんどは、名もない数です。また、どんなに多くの記号を用意しても、無理数のすべては表わしつくせないことが証明されています。

円の面積について

No9 ency です。

結局のところ、「円周率πはなぜ無限小数なのか？」ということが、roop11 さんのお知りになりたいことなのでしょうか。

あ、あと、一応、下に書いたアドバイスを元に、円について考えてみて下さい。

＞現実にある円の円周率も無限ですか・・・

「円周率が無限に続く」と何度もお書きですが、この「無限に続く」というのは小数の桁が（残り全部０にならないで）無限に続く（つまり無限小数）という意味ですね。

roop11 さんは「円の面積を正確に求められない」というのを、どのような意味で使用しているのでしょうか。

＞面積が2.000000・・・（以下無限）

No.5で答えた者です。

円周率πは無理数と呼ばれる数の一種です。

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