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\int \int y^4 dxdy
D: x^2+y^2<=4, x>=0, y=>0
という問題に取り組んでいます。

まず積分範囲を図示すると、
半径2の円で、第一象限の部分のような形になりました。

次にx=rcosθ, y=rsinθとしてr,θの積分範囲を求めました。
するとr^2<=4, rcos>=0, rsin=>0となり、
それぞれの不等式から 0<=r<=2, 0<=θ<=π/2 と考えました。

しかし、検算としてwolframalphaへ式を入力すると、
まったく違った不等式が出力されました:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28rcos%28 …

最終的にr, θを用いて重積分を解きたいため、
変数変換後の積分範囲が知りたいです。どのように求めればよいでしょうか?

ご教授よろしくお願いいたします。

gooドクター

A 回答 (3件)

D を極座標で表したいってこと?


その部分は中学の数学。
座標平面に x^2+y^2≦4, x≧0, y≧0 の範囲を図示して、
それを r, θ の不等式で表すだけだよ。
原点中心半径2の円板を第一象限で切り取った扇形になるから、
0≦r≦2, 0≦θ≦π/2.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28rcos%28
が示す r, θ の範囲は、極座標の偏角の周期性によって
青紫の四角がたくさんになってしまっている。
そのうち 1 個の四角を採用すればいいだけ。
復数採用してしまうと、r, θ が D を多重に覆うことになるから
積分の値が四角の個数ぶんだけ整数倍になってしまう。

計算のほうは、簡単だよね。
∬[D] y^4 dxdy = ∬[D] (r sinθ)^4 (rdrdθ)
= ∫[0,π/2] {∫[0,2] (r^5)(sinθ)^4 dr }dθ
= ∫[0,π/2] { (sinθ)^4 ∫[0,2] (r^5) dr }dθ
= { ∫[0,2] (r^5) dr }∫[0,π/2] (sinθ)^4 dθ,

∫[0,2] (r^5) dr = [ (1/6)r^6 ]_(r=0,2) = (1/6){ 2^6 - 0 } = 32/3,

∫[0,π/2] (sinθ)^4 dθ = ∫[0,π/2] { (sinθ)^2 }^2 dθ
= ∫[0,π/2] { (1 - cos(2θ))/2 }^2 dθ
= ∫[0,π/2] (1/2^2){ 1 - 2cos(2θ) + (cos2θ)^2 }dθ
= ∫[0,π/2] (1/4){ 1 - 2cos(2θ) + (1 + cos(4θ))/2 }dθ
= ∫[0,π/2] { (1/4 + 1/8) - (1/2)cos(2θ) + (1/8)cos(4θ) }dθ
= [ (3/8)θ - (1/4)sin(2θ) + (1/32)sin(4θ) ]_(θ=0,π/2)
= (3/8){ π/2 - 0 } + 0 + 0.

以上より、
∬[D] y^4 dxdy = (32/3)(3/8)π/2 = 2π.
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積分範囲は 0<=r<=2, 0<=θ<=π/2 で自明。

これがわからなければ何も言うことは無い。
ただ、wolframalphaへは、繰り返しになる解を出すようなので、θの範囲を指定する必要がある。

0<=r<=2, cos(θ)>=0, sin(θ)>=0, 0<=θ<=2π
https://www.wolframalpha.com/input/?i=0%3C%3Dr%3 …

r≧0 だから、cos,sin前のrは不要。
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積分範囲は合っている。


多分dxdyの極座標変換を間違えているんじゃないかな。
x=rcosθ, y=rsinθとし、ヤコビアン行列を用いると、
┌∂x/∂r ∂x/∂θ┐=┌cosθ -rsinθ┐=r
└∂y/∂r ∂y/∂θ┘ └sinθ  rcosθ┘

よって、dxdy=rdrdθとなる。

∫D y^4 dxdy
=∫[0, 2]∫[0, π/2] (rsinθ)^4 rdrdθ
=∫[0, 2]∫[0, π/2] (r^5)((sinθ)^4) drdθ

自分が計算したら8πになった。
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