No.2ベストアンサー
- 回答日時:
√内が
ax-x^2=(a/2)^2-(x-(a/2))^2=((a/2)^2){1-((2x-a)/a)^2}
と変形出来ることから
(2x-a)/a=u
と置換すると良いでしょう。
u=(2x-a)/a と置換すると
x=(u+1)a/2
dx=(a/2)du
x=0のとき u=-1
x=aのとき u=1
より
I=∫[0→a]x√(ax-x^2)dx
=∫[-1→1](u+1)(a/2)(a/2)√(1-u^2) (a/2)du
=((a/2)^3)∫[-1→1](u+1)√(1-u^2) du
=((a/2)^3){∫[-1→1]u√(1-u^2) du+∫[-1→1]√(1-u^2) du}
前半の積分は奇関数の対称区間積分なので0,後半は偶関数の対称区間積分なので半区間積分の2倍となるから
I=2((a/2)^3)∫[0→1]√(1-u^2) du
u=sin(t)(u:0→1,t:0→π/2)と置換すると
√(1-u^2) du=cos^2(t)dt=(1/2){1+cos(2t)}dt
より
I=((a/2)^3)∫[0→π/2]{1+cos(2t)}dt
=((a/2)^3)(π/2)
=(π/16)a^3
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 高校 数学III 積分 数学IIIの積分でf(ax+b)の積分公式がありますが b=0の時どのように考えれ 4 2022/09/30 02:06
- 物理学 次の微分方程式を解け dx/dt=e^ax+b これがわかりません。詳しく説明して欲しいです 1 2023/05/22 12:35
- 数学 複素関数で分からない問題があります。 ∫[0->π]1/(1+sin^2x)dx という積分を考える 5 2022/12/24 22:14
- 数学 微分積分の微分方程式についての問題がわからないです。 2 2022/07/18 17:44
- 数学 f(x,y)=-2y/(x^2+y^2) という関数を不定積分すると、 ∫ -(2y)/(x^2 + 2 2023/06/12 20:25
- 数学 微分積分の二重積分についての問題がわからないです 2 2022/08/08 15:19
- 数学 微分積分の極限についての問題がわからないです。 1 2023/01/08 13:57
- 数学 ∫(∞~-∞ )dx/(x^4+4) の積分のやり方を教えて欲しいです。 途中の計算の解説があるとと 3 2022/07/24 01:35
- 数学 微分積分のlimについての問題がわからないです。 6 2022/07/14 14:04
- 数学 微分積分についての問題がわからない です。 3 2022/08/08 15:13
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
cos π/8 の求め方
-
1 / (x^2+1)^(3/2)の積分について
-
∮ [0→1] arctanx dx の定積分を...
-
arccos0の値ってなぜπ/2なんで...
-
線積分の問題
-
y=sin4θとy=cos4θのグラフの...
-
積分
-
cosx<0(0≦x≦2π)の範囲を教えて...
-
積分について教えてください。
-
y=cosx(0≦x≦π/2)のy軸周りの回...
-
cosπ/2やcos0ってどのように求...
-
極座標θ r φの範囲
-
逆三角関数の方程式の問題です...
-
アステロイドの面積の出し方を...
-
複素数のn乗根が解けません
-
位相がよく分かりません。 cos(...
-
重積分の問題を教えてください。
-
曲線の長さを求める問題
-
定積分
-
数III微分の応用問題です
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
1 / (x^2+1)^(3/2)の積分について
-
数3の極限について教えてくださ...
-
重積分について
-
cos π/8 の求め方
-
1/(sinx+cosx)の積分
-
y=cosx(0≦x≦π/2)のy軸周りの回...
-
cosπ/2やcos0ってどのように求...
-
cosx<0(0≦x≦2π)の範囲を教えて...
-
位相がよく分かりません。 cos(...
-
∫[0→∞] 1/(x^3+1)dx
-
1/5+4cosxの0→2πまでの積分で、...
-
複素数のn乗根が解けません
-
重積分の変数変換後の積分範囲...
-
arccos0の値ってなぜπ/2なんで...
-
この1/2はどこからでてきました...
-
逆三角関数の方程式の問題です...
-
複素数の偏角
-
数学の証明問題です。
-
∮ [0→1] arctanx dx の定積分を...
-
重積分の問題を教えてください。
おすすめ情報