自然数の無限数列は連続体濃度を持つ？

タイトルの通りです。
自然数からなる全ての無限数列の集合は連続体濃度を持つのでしょうか？

持つのであれば詳しい証明をお願いします。持たないのであれば反例をあげて下さい。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/04 12:55

この命題で「反例」って何ぞな？

結論は真。

連続体濃度以上であること：
0以上１以下の実数の集合は連続体濃度を持つが、
その各元は一意な小数表示を持つ。
n進小数表示は、{0,1,2,...,n-1}からなる無限列であり、
自然数列の集合の部分集合である。

連続体濃度以下であること：
実数体は整数環上の加群だが、無限次元である。
ひと組の基底を固定して、各成分が自然数であるような元を考えると、
自然数列が実数の部分集合と等濃度であると判る。

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2020/06/04 12:15

無限数列が何かによるのでしょ。

その1個の数列要素を横に並べると、無限個の要素になり
その数列を順に立てに並べる。
すると上から順位1,2,3,4,5・・・と番号が付けられるから、アレフ０（自然数の濃度）。

自然数の任意の要素を抽出した集合(ベキ集合)を全部考えると、アレフ1(連続体濃度)。