高校数学

座標空間内にxy平面と交わる半径5の球がある。その球の中心のz座標が正であり、その球とxy平面の交わりが作る円の方程式が
x^2+y^2-4x+6y+4=0
であるとき、その球の中心の座標を求めよ。
という問題で
左辺を変形して、
x^2+y^2-4x+6y+4=（ｘ-2）＾2+（ｙ+3）＾2-9＝0
ですから、xy平面の交わりが作る円の半径は3です。(←ここまでは理解できています)
よって、球の中心のｚ座標は、√（25-9）＝4
したがって、球の中心の座標は、（2、-3、4）

というふうになるのがいまいちピンときません
詳しい解説お願いします

No.3 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/06/18 18:11

球を水平方向に切断したとき切り口は円になりますが、その円の中心は球の中心の真上か真下にきます。

つまり、円の中心のx座標、y座標は、球の中心のx座標、ｙ座標と変わりません。
球とxy平面の交わりが作る円ということは、球をxy平面（z=0）で切断したときの切り口の円と同じです。
円の方程式は、(x-2)²+(y+3)²=9……①
円の中心をC’とすると、中心C'(2 , -3 , 0)、半径３ の円です。

球の中心をCとすると、中心C(2 , -3 , z) と表すことができます。(z>0)
CC'=z です。

ここで、今度は球を垂直方向に、yz平面 (x=2) で切断します。
この平面には、円の中心C'、球の中心Cが存在します。
また、先ほどのxy平面の円も切断するので、その円周との交点が２つできます。その点をP、P’とします。
①に、x=2 を代入すると、
(2-2)²+(y+3)²=9
(y+3)²=9
y+3=±3
y=0 , -6
これより、
P(2 , 0 , 0) , P'(2 , -6 , 0)
とします。

△CC'Pは、∠CC'P＝90°の直角三角形です。
CPは球の半径なので、CP=5
C'Pは円の半径なので、C'P=3
CC'²+C'P²=CP² より、
CC'²+3²=5²
CC'²+9=25
CC'²=16
CC'=4

CC'=z なので、球の中心の座標は、(2 , -3 , 4) となります。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/16 20:15

(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = 5^2 に z = 0 を代入したら

x^2 + y^2 - 4x + 6y + 4 = 0 になったって話ですよね。
代入して展開すると x^2 + y^2 - 2ax - 2by + (a^2 + b^2 + c^2 - 25) = 0
になるので、係数を比較すると
-2a = -4, -2b = 6, a^2 + b^2 + c^2 - 25 = 4 です。
「その球の中心のz座標が正であり」とあるので、c > 0 であり、
c = √( 4 + 25 - 2^2 - (-3)^2 ) = 4 と計算できます。
球の中心の座標は、(a,b,c) = (2,-3,4).
図をひねくり回すより、計算したほうが早くて簡単な問題でした。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/06/15 21:47

(ｘ-2）＾2+（ｙ+3）＾2-9＝0より　xy平面で考えると円の中心の座標は(2,-3)

これを空間座標で見ればこの円の中心の座標は(2,-3,0)
この円の中心から円を含む平面に垂直な直線を引くと、この直線は球の中心を通る
そこで円周上に任意の点Pを取り　円の中心はC,級の中心はC'とすると
Pが円周のどこにあろうとも　△PCC'は∠PCC'=90度の直角三角形となります
ゆえに　三平方の定理で
PC²+CC'²=PC'が成り立つ　
ここでPCは円の半径、PC'は球の半径であるから
3²+CC'²=5²
ゆえにCC'=√(5²-3²)=4
CC'とは円を含む平面（ｘｙ平面）から測った球の中心の高さに相当するから
C'のz座標=CC'=4
つまりCの直上にあるC'はx,y座標はCと同じでz=4
ゆえにC'(2,-3,4)ということです