フーリエ級数を求める問題＋α

以下の関数f(x)のフーリエ級数を求める問題です。
f(x)= 0 (-π ≦ x ＜ 0), π-x ( 0 ≦ x ＜ π)
f(x+2π)=f(x) (周期２π)

また,求めたフーリエ級数を用いて
Σ(n=1～∞)1/(n^2)を求める問題なのですが
うまく(π^2)/6の値が求められません
フーリエ級数を求める過程から教えていただけると助かります。
どなたかよろしくお願いします。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/06/29 23:19

まずフーリエ級数を求めないと話にならんので, 地道に計算してください.

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/30 19:20

その f のフーリエ展開は

f(x) = π/4 + Σ[n=1→∞]{ { (1-(-1)^n)/(πn^2) }(cos nx) + (1/n)(sin nx) }
となる(計算は省略。自分でやってね)ので、 x = π を代入すると
0 = π/4 + Σ[n=1→∞]{ { (1-(-1)^n)/(πn^2) }(-1)^n + (1/n)0 }
= π/4 + (1/π)Σ[n=1→∞]((-1)^n - 1)/n^2
= π/4 + (1/π)Σ[n∈奇数](-1 - 1)/n^2　+ (1/π)Σ[n∈偶数](1 - 1)/n^2
= π/4 - (2/π)Σ[n∈奇数]1/n^2.
f(x) が x = π で連続だから、この代入は行ってよい。
よって、
Σ[n∈奇数]1/n^2 = (1/8)π^2.

Σ[n=1→ｋ]1/n^2 ≦ Σ[n=1→2[ｋ/2]]1/n^2
= Σ[j=1→[k/2]]1/(2j-1)^2 + Σ[j=1→[k/2]]1/(2j)^2
≦ 2Σ[j=1→[k/2]]1/(2j-1)^2
≦ 2(1/8)π^2
より、
k についての有界増加列 Σ[n=1→k]1/n^2 は収束する。

S = Σ[n=1→∞]1/n^2 と置くと
S = Σ[n∈奇数]1/n^2 + Σ[n∈偶数]1/n^2
= (1/8)π^2 + Σ[j=1→∞]1/(2j)^2
= (1/8)π^2 + (1/4)Σ[j=1→∞]1/j^2
= (1/8)π^2 + (1/4)S
だから、
S = (4/3)(1/8)π^2 = (1/6)π^2.
収束性の話は忘れがちなので気をつけて。