任意の実数xに対して、x-1<n≦xなる整数nが存在することを示すにはどうすれば良いですか？

任意の実数xに対して、x-1<n≦xなる整数nが存在することを示すにはどうすれば良いですか？

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/01 19:58

アルキメデスの公理かあ、かっこいいなあ。

こんな証明もある。↓
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11740256.html

この回答へのお礼

前の投稿に、不適切な投稿があったためもう一度投稿しました
ありがとうございました

お礼日時：2020/07/01 20:01

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/07/01 19:25

0以上の整数を自然数とする。

x=0のとき、n=0 として、-1<0≦0だから命題は成立。
x>0のとき、アルキメデスの原理から、x<nとなる自然数が存在する。
A(x)={n:x<n,n∈N}とすると、自然数の定理から、minA(x)が存在する。

そこで、l=minA(x)とすると　0<x<lとなり、(l-1)も自然数であり、l-1≦x<l → x-1<l-1≦x
ここで、n=l-1とおけば、命題は成立。

x<0のとき、-xについて、上のことから
(-x)-1<n≦(-x)が成立。変形して x-1≦-n-1<x
n-1を改めて、nとおけば命題が成立。

以上で任意の実数について命題が成立。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/07/01 18:46

あるきめです