複素フーリエ

f(x)=e^(ax) (-L≦x<0),e^(-ax) (0≦x<L)
の複素フーリエ展開が分かる方いましたら途中式や答えも含めて教えてください。周期は2Lです。

cN=1/(2L)∫[-L,0]e^(ax)+e^{-(2πiNx)/(2L)}dx+1/(2L)∫[0,L]e^(-ax)+e^{-(2πiNx)/2L}dx
=1/(2L)∫[-L,0]e^(ax)+e^{-(πiNx)/L}dx+1/(2L)∫[0,L]e^(-ax)+e^{-(πiNx)/L}dx
＝1/(2L)∫[-L,0]e^(ax-{(πiNx)/L})dx+1/(2L)∫[0,L]e^(-ax{-(πiNx)/L})dx
cN=1/(2LnaN)【[e^(-aL){aLe^(aL)sin(πN)-iaLe^(aL)cos(πN)+(πe^(aL)-π)N+iaLe^(aL)}]+[aLsin(πN)+iaLcos(πN)+{π-πe^(aL)}N-iaL]】
ここまで自力で求めましたが、これ以上解くことができません・・・

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/10 14:28

c[N] = {1/(2L)} ∫[-L,0] e^(ax - {(πiNx)/L})　dx

　　　　　　+ {1/(2L)} ∫[0,L] e^(-ax + {-(πiNx)/L}) dx
までは同意です。
その後、せっかく被積分関数が指数関数なんだから、
わざわざ三角関数で表示して面倒くさくする必要もないでしょう。
(2L)c[N] = ∫[-L,0] e^(ax - {(πiNx)/L})　dx
　　　　　　+ ∫[0,L] e^(-ax + {-(πiNx)/L}) dx
　　　　= ∫[-L,0] e^(　{a-(πiN)/L}　x　)　dx
　　　　　　+ ∫[0,L] e^(　{-a-(πiN)/L}　x　) dx
　　　　= [　{1/(a-(πiN)/L)} e^({a-(πiN)/L}x)　]_(-L,0)
　　　　　　+ [　{1/(-a-(πiN)/L)} e^({-a-(πiN)/L}x)　]_(0,L)
　　　　　= (L/(aL-πiN){ 1 - e^(-aL+πiN) }
　　　　　　+ (L/(-aL-πiN)){ e^(-aL-πiN) - 1 }
　　　　　= (L/(aL-πiN)) - (L/(aL-πiN))e^(-aL)・(-1)^N
　　　　　　+ (L/(-aL-πiN))e^(-aL)・(-1)^N - (L/(-aL-πiN))
　　　　　= { (L/(aL-πiN)) - (L/(-aL-πiN)) }{ 1 - e^(-aL)・(-1)^N }
　 　　　= {-2aL/{ - (aL)^2 - (πN)^2 }}{ 1 - e^(-aL)・(-1)^N }.
よって、
c[N] = { a/{(aL)^2 + (πN)^2} }{ 1 - e^(-aL)・(-1)^N }.