線形代数 次の行列の定めるC^3の線形変換のジョルダン分解を行列で与えて頂きたいです。考え方もお願い

線形代数
次の行列の定めるC^3の線形変換のジョルダン分解を行列で与えて頂きたいです。考え方もお願いします。
[1 -1 0
1 3 0
0 0 0]

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/20 22:22

普通にね。

2×2行列だから、簡単。
A =
　　1　　-1　　0
　　1　　3　　0
　　0　　0　　0,
I =
　　1　　0　　0
　　0　　１　　0
　　0　　0　　１．
と置くと、
固有方程式が 0 = det(xI-A) = r^3 - 4r^2 + 4r = r(r - 2)^2 で
固有値は r = 0, 2.
固有値 0 に属する固有ベクトルは
(A-0I)v = 0 を解いて v // (0,0,1)^T.
固有値 2 に属する固有ベクトルは
(A-2I)v = 0 を解いて v // (-1,1,0)^T.
固有ベクトルが足りないので、一般固有ベクトルを求める。
(A-2I)^2 (x,y,z)^T = 0 を解いて (x,y,z) = y(-1,1,0) + s(1,0,0).
第3のベクトルとして v // (1,0,0) をとればいい。
以上のベクトルを列に並べて
P =
　　-1　　1　　0
　　1　　0　　0
　　0　　0　　1
と置くと、
P^-1 A P =
　　2　　1　　0
　　0　　2　　0
　　0　　0　　0.

No.1 回答者： springside 回答日時： 2020/07/20 18:31

ジョルダン分解は、

[0 0 0
0 2 1
0 0 2]

となります。

やり方は教科書通りなので、割愛します。