至急！！不定積分 ∮1/(x^2-1)^2 dx の解き方教えて頂きたいです！ 計算過程もお願いしま

至急！！不定積分　∮1/(x^2-1)^2 dx の解き方教えて頂きたいです！

計算過程もお願いします！

質問者からの補足コメント

• 恥ずかしながら数3を習っていなくて、初めから全くわからない状態です、、

    補足日時：2020/08/11 13:45

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/08/11 14:24

閉路積分 ∮ の積分路は？

いや、「数3を習っていなくて」というなら、ただの誤字か。
普通の実不定積分 ∫{ 1/(x^2-1)^2 }dx だと解釈すると...

分数式の積分は、まず、被積分関数を多項式と単位分数の和に分解する。
この操作を「部分分数分解」という。
この問題の場合、分子が分母より低次だから、多項式部分は無くて
1/(x^2-1)^2 = A/(x-1) + B/(x-1)^2 + C/(x+1) + D/(x+1)^2
とすればよいわけだが、
この式の両辺に (x-1)^2 を掛けてから x→1 の極限をとれば、
1/2^2 = 0 + B + 0 + 0,
両辺に (x+1)^2 を掛けてから x→-1 の極限をとれば、
1/(-2)^2 = 0 + 0 + 0 + D.
よって B = D = 1/4 が判り、
A/(x-1) + C/(x+1) = 1/(x^2-1)^2 - (1/4)/(x-1)^2 - (1/4)/(x+1)^2 = (-1/2)/{ (x - 1)(x + 1) }.
再度、この式の両辺に (x-1) を掛けてから x→1 の極限をとれば、
A + 0 = -1/4,
両辺に (x+1) を掛けてから x→-1 の極限をとれば、
0 + C = 1/4.
以上より、部分分数分解は
1/(x^2-1)^2 = (-1/4)/(x-1) + (1/4)/(x-1)^2 + (1/4)/(x+1) + (1/4)/(x+1)^2.

この先の積分は単純で、
∫{ 1/(x^2-1)^2 }dx = (-1/4)∫{ 1/(x-1) }dx + (1/4)∫{ 1/(x-1)^2 }dx + (1/4)∫{ 1/(x+1) }dx + (1/4)∫{ 1/(x+1)^2 }dx
= (-1/4)log|x-1| + (1/4){ -1/(x-1) } + (1/4)log|x+1| + (1/4){ -1/(x+1) } + C　(Cは定数)
= (1/4)log| (x+1)/(x-1) | - (1/2)x/(x^2 - 1) + C.

No.1 回答者： ひなげしのはな 回答日時： 2020/08/11 13:42

何処が分からないのですか？