微分方程式の解法を教えてください。 物体に一定の大きさfの力を正の向きに加えます。物体には抵抗係数γ

微分方程式の解法を教えてください。
物体に一定の大きさfの力を正の向きに加えます。物体には抵抗係数γの速度に比例する抵抗力が働きます。
この時の一般解を求めよという問題です。
答えはx=(f/γ)t-(m C3/γ^2)e^(-γ/m)t+C4と書いてあります。

微分方程式　m d^2x/dt^2=f-γvというのは分かります。この先、どのように変形すればよいか教えてください

No.2 ベストアンサー 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/08/24 20:14

No.1の方の回答にある通り、ラプラス変換を使うのが楽。

微分方程式が求めたいのであれば、一応解法を示しておく。

d^2x/dt^2=x''(t), v=dx/dt=x'(t)とする。

mx''(t)=f - γx'(t)
x''(t)=(f/m) - (γ/m)x'(t)
x''(t) + (γ/m)x'(t)=f/m

x(t)=Atと置くと、
x'(t)=A, x''(t)=0より
A(γ/m)=f/m
A=f/γ

よって、特殊解はx(t)=(f/γ)t

x''(t) + (γ/m)x'(t)=f/mの同次方程式 x''(t) + (γ/m)x'(t)=0より、
r^2 + (γ/m)r=0
r(r+(γ/m))=0
r=-γ/m, 0

よって同次方程式 x''(t) + (γ/m)x'(t)=0の一般解は、
x(t)=C1e^(-γ/m)t + C2e^(0t)=C1e^(-γ/m)t + C2

特殊解と一般解を足したものが、与式の一般解になるので、
x(t)=(f/γ)t + C1e^(-γ/m)t + C2
(C1, C2：積分定数）

C1と-m C3/γ^2の部分が異なるのは、ここには書かれていない初期条件があるからだと思う。
（数学的にはC1だろうと-m C3/γ^2だろうと、定数には変わらない）

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/08/24 18:19

定数係数の線型非同次微分方程式では、

ラプラス変換を使うのがお勧めです。

機械的な手順を踏み、表を引くだけで答が得られます。