至急お願いします 二次方程式の文章題です x2乗-x-1=0の一つの解をaとするときa a3乗-a2

至急お願いします
二次方程式の文章題です

x2乗-x-1=0の一つの解をaとするときa
a3乗-a2乗-a+8の値を求めよ

と言う問題の答えと解説が欲しいです

質問者からの補足コメント

• ダーマロさん
  
  めんどくさいと思われますが答えを確かめる方法はありますか？

    補足日時：2020/09/07 23:34

No.3 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/09/08 06:46

a は x²-x-1=0 の解なので、

a²-a-1=0……①

a³-a²-a+8
=a(a²-a-1)+8
=a×0+8
=8

確かめるためには a の値を求めて代入します。
①より、
a=[1±√{(-1)²-4×1×(-1)}]/2
=(1±√5)/2

a=(1+√5)/2 とすると、
a³={(1+√5)/2}³=(1³+3×1²×√5+3×1×√5²+√5³)/2³=(16+8√5)/8=2+√5
a²={(1+√5)/2}²=(1+2√5+5)/4=(6+2√5)/4=(3+√5)/2
これより、
a³-a²-a+8=(2+√5)-(3+√5)/2-(1+√5)/2+8=2+√5 - 3/2 - √5/2 -1/2 - √5/2+8=8

a=(1-√5)/2 のときも同様にして、
a³={(1-√5)/2}³=2-√5
a²={(1-√5)/2}²=(3-√5)/2
これより、
a³-a²-a+8=(2-√5)-(3-√5)/2-(1-√5)/2+8=8

No.2 回答者： ダーマロ 回答日時： 2020/09/07 23:38

答えが正しいか、という事でしょうか？

正しいとは思いますが、実際にどうかは学校の解説を待つしかないと思います。

No.1 回答者： ダーマロ 回答日時： 2020/09/07 23:26

xの解の1つがaということは、

『x=a』
と現すことが出来ます。
すると
a3乗-a2乗-a＋8は
x3乗-x2乗-x＋8
と変形できます。
この式をxでくくると、
x(x2乗-x-1)＋8
という式になります。
()の
x2乗-x-1=0と既に定義されているため、
これを代入すると
a×0＋8
という式になり、
答えは8です。

分かりましたでしょうか？！
分からないところがあれば聞いてくださいね