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No.2ベストアンサー
- 回答日時:
曲面S: x+y+z=1. x,y,z≧0 の f(x,y,z)=x²+y²+z² の面積分
∫g(x,y)|(∂r/∂x)×(∂r/∂y)|dxdy を求める問題。ここで
g(x,y)=f(x,y,1-x-y) , r=<x,y,1-x-y>
したがって、積分範囲はxy平面で x=0~1 , z=0 だから、Sでz=0 として
y=1-x だから y=0~(1-x)
No.1
- 回答日時:
同じ問題がありましたが、A=<18z,-12,3y>の誤りと思います。
S面の法線ベクトルNは N=grad(2x+3y+6z)=<2,3,6>
単位法線ベクトルnは n=<2,3,6>/|<2,3,6>|=<2,3,6>/7
xy平面の微小面dxdy二対応するS面の面積をdSとすると
dS=dxdy/|n・ez|=dxdy/(6/7)=(7/6)dxdy
A・n=<18z,-12,3y>・<2,3,6>/7=(36z-36+18y)/7
( z=(12-2x-3y)/6 をいれて )
=(36-12x)/7
∫A・ndS=∫A・ndxdy/|n・ez|
=∫{ (36-12x)/7 } {(7/6)dxdy}=∫(6-2x)dxdy
=∫[x=0→6] ∫[y=0→4-2x/3] (6-2x)dxdy
=∫[x=0→6] { [(6-2x)y] [y=4-2x/3,0] }dx
=∫[x=0→6] { (6-2x)(4-2x/3) }dx
=∫[x=0→6] { 24-4x-8x+4x²/3) }dx
=∫[x=0→6] { 24-12x+4x²/3) }dx
=[24x-6x²+4x³/9] [x=6,0]
=144-36×6+4×4×6=144-216+96=24
この回答へのお礼
お礼日時:2020/09/22 16:29
ありがとうございます。
リンク先の問題についてアドバイスを貰いたいのですが、自分は写真の通りuとvを取り面積分を求めようと思ったのですが、これにおけるuとvの範囲は0から1でいいのでしょうか?
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