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ある地点のスカラー量V(x, y, z)が次式で与えられるとき、勾配(grad V)を求めよ。ただし、Q、εは定数であり、r = (x^2+y^2+z^2)^1/2である。また、x方向、y方向、z方向の単位ベクトルをそれぞれ、→ex, →ey,→ez とすると、r = x(→ex) + y(→ey) + z(→ez)である。

V(x, y, z) =Q/4πεr

という問題なのですがgradV=(-Qx/4πεr^3,-Qy/4πεr^3,-Qz/4πεr^3) とxについて微分,同様にy,zも微分したものが答えになるという解釈でいいでしょうか。間違っていたら訂正お願いします。

A 回答 (3件)

>xについて微分,同様にy,zも微分したものが答えになるという解釈でいいでしょうか。



正確にいうと「x について偏微分、同様に y, z についても偏微分」ということです。

grad(V) = (∂V/∂x, ∂V/∂y, ∂V/∂z)

であり、それぞれ
 ∂V/∂x = (∂V/∂r)(∂r/∂x)
 ∂V/∂y = (∂V/∂r)(∂r/∂y)
 ∂V/∂z = (∂V/∂r)(∂r/∂z)
ということです。

これは
 ∂V/∂r = -Q/4πεr^2
であり、r = (x^2 + y^2 + z^2)^(1/2) から
 ∂r/∂x = (1/2)(x^2 + y^2 + z^2)^(-1/2) * 2x
    = x/(x^2 + y^2 + z^2)^(1/2)
    = x/r
 ∂r/∂y = (1/2)(x^2 + y^2 + z^2)^(-1/2) * 2y
    = y/(x^2 + y^2 + z^2)^(1/2)
    = y/r
 ∂r/∂z = (1/2)(x^2 + y^2 + z^2)^(-1/2) * 2z
    = z/(x^2 + y^2 + z^2)^(1/2)
    = z/r
なので、その組み合わせで答えになります。
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解釈?


gradの計算自体は定義通りに偏微分を実行するだけです。
grad自体は導関数の3次元拡張拡張です。

微小ベクトルds=(dx、dy、dz)だけx、y、zが変化した時の
Vの変化量dVは
dV=gradV・ds (・は内積)
=(∂V/∂x, ∂V/∂y, ∂V/∂z)・(dx、dy、dz)
=(∂V/∂x)dx+(∂V/∂y)dy+(∂V/∂z)dz

つまり、お馴染みの全微分の式を3次元で内積を使って簡略に書くための記号
とも言えますが
dy=(dy/dx)・dx
の3次元拡張でもあります。勾配の名の由縁です。
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勾配だから x, y, z のそれぞれで偏微分すればいい.

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