数学の問題です 正の約数が28個ある最小の正の整数を求めよ。 この問題を教えてください！

数学の問題です
正の約数が28個ある最小の正の整数を求めよ。 この問題を教えてください！

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/10/10 23:15

その問題の文章の, どの部分がわからないのでしょうか? 「約数」の意味が理解できないとか?

No.2 回答者： ginga_kuma 回答日時： 2020/10/10 23:43

約数の個数は素因数分解した素因数の指数に１を加えた数の積で求められます。

例えば、48の約数の個数は
48=2^4×3 に因数分解できるので、約数の個数は
(4+1)×(1+1)
=5×2
=10

逆に考えると
28はどんな掛け算で表されるかを考えます。
28=28×1
28=14×2
28=7×4
28=7×2×2
この積で表された数から１を引いた数が素因数の指数になります。
さらに、小さい数の素因数の指数が大きい方が小さい数字になるので、
2^(28-1)×3^(1-1)=2^27
2^(14-1)×3^(2-1)=2^13×3
2^(7-1)×3^(4-1)=2^6×3^3
2^(7-1)×3^(2-1)×5^(2-1)=2^6×3×5
この中の積が小さい数字が答えです。

No.3 ベストアンサー 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/10/10 23:43

約数を素因数分解すると、28=2×2×7

つまり素数が3種類あることになる。

それぞれの素数の乗数は、約数の素因数-1となるので、
1乗, 1乗, 6乗になる。
乗数の大きい順に小さい素数を割り当てれば良いので

2^6 × 3^1 × 5^1=64×3×5=960

よって、960が約数が28個ある最小の正の整数となる。

約数を数えると、

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 32, 40, 48, 60, 64, 80, 96, 120, 160, 192, 240, 320, 480, 960

の28個になり、正しいことが分かる。