ミクロ経済の質問です。

Question

1企業、2個人Ａ，Ｂ、2財(第１財、第２財)からなる経済を考える。
企業の生産集合がＹ＝｛(ｙ1,ｙ2)|y1≦０、y2≦√―y1｝
で示され、２個人の効用関数と初期保有量はそれぞれ

UA(x1,x2)=logx1+logx2
UB(x1,x2)=x1・x２

初期保有量…eA=(18,0),eB=(0.6)

で示されるとする。企業の利潤は２個人に分配され、個人Aと個人Bへの
分配率はそれぞれ、1/２、1/２である。

(1)	各財の価格をp1,p2として、企業の供給関数と利潤関数を求めよ。
(2)	各財の価格をp1,p2、企業の利潤をπとおいて、各個人の需要関数をそれぞれ求めよ。
(3)	均衡における２財の価格比p1/p2を求めよ。価格比は正値とする。


某編入試験の問題なのですが、解答が無いのでわかりません。
ここまで、全くわからない問題は初めてです。
まず、何をすればいいのでしょうか？

gootarohanako · Accepted Answer

>あと、x1-y1=18ではないのでしょうか？
ｙ１≦０なので
ｘ１+ｙ１＝１８
にすると
ｙ１＝－５だと
ｘ１＝２３
になり18を超えてしまいます

あなたのご指摘の通りです。あなたがすでにNo8のコメントで指摘した通りです。
X1=18+y1
となる。第1財は初期保有量18のうち企業が投入用に用いた残りが個人AとBの消費にあてられると考えるとわかりやすい。

私のNo6の回答は訂正の必要があります。

＞よって、第1財の需給均衡の条件は
X2+y2 = 18
すなわち、
9+3(p2/p1) +(1/8)(p2/p1)^2 = 18
を相対価格ｐ＝p2/p1について解けばよい。
p^2 + 24p - 72 = 0
この2次方程式の正の解が均衡相対価格（第1財で測った第2財の価格）だ。

の部分は

よって、第1財の需給均衡の条件は
X2 = 18+y2
すなわち、
9 + 3(p2/p1) + (1/8)(p2/p1)^2 = 18 - (1/4)(p2/p1)^2
(3/8)(p2/p1)^2 + 3(p2/p1) - 9 = 0
つまり
p^2 + 8p -24 = 0
を相対価格ｐ＝p2/p1について解けばよい。
この2次方程式の正の解が均衡相対価格（第1財で測った第2財の価格）だ。

と直してください。すると、解は

p = - 4 ±2√10

となるが、負の解は捨てるので、結局均衡相対価格は

p = p2/p1 = -4 + 2√10 = 2.32...

となる。均衡は１つです。

計算があっているか確かめてください。

gootarohanako · Answer

>企業が需要するのはy1であってｘ1を需要しないので
第一財（ｘ１財）を需要するのは個人Ｂだけではないのでしょうか？

ｘとｙが異なる財かどうかで問題になっているんですか？この経済には第1財と第2財の２つの異なる財があるだけです。第1財の個人（AとB）の消費（需要）をx1と書き、個人（AとB)の第2財の消費（需要）をx2と書いている。企業は、第１財を個人Aから購入し、それを生産過程に投入して第2財を生産している。企業の第1財の投入量をy1と書き、第2財の生産量をy2と書いている。x1とy1は同じ第1財だし、x2とy2は同じ第2財です。繰り返すと、この経済には第1財と第2財の２つしかなく、個人AとBの消費をｘで、企業の投入と生産をｙであらわしている、ということです。それは問題の文面から明らかです！

gootarohanako · Answer

>企業が需要するのはy1であってｘ1を需要しないので
第一財（ｘ１財）を需要するのは個人Ｂだけではないのでしょうか？

第1財の投入量（その意味で企業の第1財の需要量）をy1と書き、x1は個人Aないし個人Bの消費量（需要量）をx1と書いているのです。本当は個人Aの第1財の消費量はｘA1と書き（Aは上付き添え字）、Bの第1財の消費量はｘB1（Bは上付き添え字）と書くとよいのですが、とにかくx1は個人の第1財の消費量（需要量）を表している。効用関数を見てください。個人Aの効用関数は
Ua(x1,x2)=logx1+logx2
と示されている。個人Aは第1財も第2財も消費することはあきらか。x1がいくらになり、x2がいくらになるかは、p1とp2の大きさおよび個人Aの所得如何による。それは効用最大化によって決まるということです。つまり、

max UA=logx1+logx2
s.t.
p1x1 + p2x2 = I =18p1

を解くことによって決まる、ということです。予算制約の左辺は支出、右辺は収入。個人Aの収入(所得）は初期保有量を市場で売却することで得られる。この最大化問題はすでに解いてあります。私の回答No5を見てください。私の計算が合っているなら、個人Aの第1財の需要量は
x1=9 + (1/16)(p2/p1)
となります。あきらかにプラスです。この値が18単位より小さければ、初期保有量からx1を消費し、余った分を市場に出す。初期保有量をあらかじめ全部売却していたとすると、このx1だけ市場から買い戻すことになる。いずれにせよ、この量x1だけ個人Aは消費しようとする。
たぶんあなたが「第一財を需要するのは個人Ｂだけではないのでしょうか？」といっている需要とは個人Aの超過需要（初期保有量以上の第1財の消費）のことでしょう。超過需要があるかないかは第1財の需要関数の右辺の相対価格p2/p1によることがわかるでしょう。個人Aと個人Bの第1財への消費需要、それから企業の第1財への投入需要が強いなら、第1財の相対価格p1/p2は上昇し（つまりp2/p1が下落し)し、x1は減少するでしょう。要するに、すべての主体（個人A,Bと企業）が満足するように、相対価格が調整されるのです。それが市場の役割です。私の計算があっていれば、均衡相対価格は12+√２と12-√２です。このとき、個人Aと個人Bの第1財の消費量と企業の投入量がいくらになるか計算してみてください。個人Aの第1財の消費量は一つの均衡では個人Aは第1財を
x1＝9 +(1/16)(12+6√２）
だけ消費するが、この量は初期保有量18より小さいので、第1財に超過供給として差の9-(1/16)(12+6√２）が市場に供給され、その一部は個人Bによって消費され、他の一部は企業によって第2財を生産するための投入量として使われていることがわかる。

is-you · Answer

それは書き方の問題ですよ
企業の生産要素に制約がなかったらいくらでも投入できちゃうじゃん

is-you · Answer

いや、普通に考えてX財もY財も同じと見ていいでしょ笑

gootarohanako · Answer

>まず、お聞きしたいのは、y2＝√ーy1
より、y1を投入してｙ２を生産すると思いました。
そのため、π＝p1・y2ーp2・y2ではないのでしょうか？

回答No1で警告したように、この問題ではアウトプット（産出量）は正値(プラス）で、インプット(投入量）は負値(マイナス）で表示されているのです。一般均衡理論では普通の表示方法なのです。したがって、y2＝√-y1を見てください。右辺のy1はマイナスの値（投入量だから）、その前にーがついているので、-y1は正になる。ルートの中はプラスあるいはゼロでないと実数にならない（虚数になってしまう）ので、－がついているのです。
あなたのΠ＝p１y2-p２y２とはΠ＝p2y2-p1y1のつもりですよね！後者だとすると（前者だと意味不明）、右辺の-p1y1は正値となってしまうので、第1財の投入をすればするほどΠは大きくなる。投入を絶対値で無限大にすれば、利潤は無限大なるというばかげた結果になる。Π＝p2y2+p1y1です。このように書いてはじめて、右辺の第2項はマイナスの値になり、投入された第2財の価値が差し引かれたことになる！

>また、予算制約の右辺は初期保有量を販売した収入とお書きになっていましたが、初期保有量を販売する純粋交換経済とは一切、書かれていませんでしたが暗黙の了解ということでしょうか？

暗黙の了解というより、完全な競争市場では同じになるということです。個人Aは保有している第1財の、自分が消費したい分だけを手元に残し、余った分を市場で販売したとしても（市場で購入するのは第1財を必要とする個人Bと企業）、第1財の初期保有量全部（18単位）を市場で売却し、自分の必要な分を市場から買い戻しても結局同じになるので、後者の手続きをとっている、ということです。個人Bの行動は分析していませんが、同様です、個人Bも自分の保有する第2財を必要な分を残して市場に売りに出す（買い手は個人A)という手続きをとっても、まず第2財の初期保有量を全部（6単位）を市場で売却し、必要な量だけ市場から買い戻すという手続きをとっても両者は同じ結果になるのです。

この経済と純粋交換経済との違いは、第2財を第1財を投入することで生産可能だということだけです。そういう技術が存在するので、第2財を生産する企業が生まれるのです。

is-you · Answer

ありがとうございます。
私は競争均衡の条件式として
x1-y1としたのですが、確かによく考えたらx1＋Y1ですよね、、

まあいずれにせよ価格比は整数にならないし、ぱっとしないなあ

is-you · Answer

ありがとうございます。

＞よって、第1財の需給均衡の条件は
X1+y1 = 18

とありますが、私はX1-y1＝18だと思いました。y1≦0なので、y1を企業が投入すればするほど、2消費者の消費可能量が増えるという矛盾した状況が起こります。すると、競争均衡における価格比はP＝-4±√19からP＝＝-4＋√19と出ました。これだと、P≒0.36と、回答としての価格比としては割と妥当なものとなります。ですが、そもそもの計算の自身は私もありません。

いずれにせよ、これは試験問題としてはかなり難易度高いと思う、、
問題自体はそこまで難しくないが、上述の通り計算が厄介すぎる

せめて価格比は整数にしてよ泣

gootarohanako · Answer

訂正。
No5の一方以下、次のように訂正してください。

＞一方、y2を生産するために投入された第1財y2はすでに求めてあり、
y2=-(1/4)(p2/p1)^2
よって、第1財の需給均衡の条件は
X2+y2 = 18
すなわち、
9+3(p2/p1) +(1/8)(p2/p1)^2 = 18
を相対価格ｐ＝p2/p1について解けばよい。
p^2 + 24p - 72 = 0
この2次方程式の正の解が均衡相対価格（第1財で測った第2財の価格）だ。

とあるところは

一方、y2を生産するために投入された第1財y1はすでに求めてあり、
y1=-(1/4)(p2/p1)^2
よって、第1財の需給均衡の条件は
X1+y1 = 18

右辺の18は第1財の初期保有量（個人Bは第1財を保有していないので、個人Aの第1財初期保有量に等しい）だ。
すなわち、
9+3(p2/p1) +(1/8)(p2/p1)^2 -(1/4)(p2/p1)^2 = 18

9+3(p2/p1) - (1/8)(p2/p1)^2 =18

よってp2/p1=pとおいて２次方程式

p^2 - 24p +72 = 0

を相対価格ｐについて解けばよい。解くと

p= 12±６√２

を得る。

と直してください。計算があっていれば、競争均衡解は２つあることになるが、計算にあまり自信はない！

gootarohanako · Answer

＞Π=(1/4)P2^2/p1になりませんか？

たしかに、そちらが正しい。計算ミスが多いので、あまり信用しないようにしてください(笑）。πの値に間違いがあると、予算制約の右辺に影響があるので、x1、x2の値に影響が出てくる。

個人Aの予算制約は
p1x1 + px2 = 18p1 + (1/8)p2^2/p1
個人Bの予算制約は
p1x1 + px2 = 6p2 + (1/8)p2^2/p1
となる。個人AもBも第1財の消費はx1、第2財はx2と書いているが、ただしくはA,Bの添え字をつけて区別しないといけないが、ごちゃごちゃするので省略したので、注意されたい。AもBもMRS＝x2/x1で等しいので
x2/x1=p1/p2
と予算制約を連立させて解くと
Aについては
x1 = 9 + (1/16)(p2/p1)^2
Bについては
x1=3p2/p1 + (1/16)(p2/p1)^2
を得た（計算には自信がないので、確認されたい！）
消費者AとBの第1財の需要合計X1はこれらを合計する。
X1=9+3p2/p1 + (1/8)(p2/p1)^2
一方、y2を生産するために投入された第1財y2はすでに求めてあり、
y2=-(1/4)(p2/p1)^2
よって、第1財の需給均衡の条件は
X2+y2 = 18
すなわち、
9+3(p2/p1) +(1/8)(p2/p1)^2 = 18
を相対価格ｐ＝p2/p1について解けばよい。
p^2 + 24p - 72 = 0
この2次方程式の正の解が均衡相対価格（第1財で測った第2財の価格）だ。計算は計算が得意の人にまかせますが、途中計算間違いはないでしょうか？

なお、ワルラスの法則によって均衡を求めるためには第2財の需給を調べる必要はない。第2財の市場の均衡を調べることで、計算が合っているかの検算の意味があることはもちろんです。

ミクロ経済の質問です。

>あと、x1-y1=18ではないのでしょうか？

>企業が需要するのはy1であってｘ1を需要しないので

>企業が需要するのはy1であってｘ1を需要しないので

それは書き方の問題ですよ

いや、普通に考えてX財もY財も同じと見ていいでしょ笑

>まず、お聞きしたいのは、y2＝√ーy1

ありがとうございます。

ありがとうございます。

訂正。

＞Π=(1/4)P2^2/p1になりませんか？

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