Aを可換環とする。この時、A[x]が有限生成なA代数であることを示してください。

Aを可換環とする。この時、A[x]が有限生成なA代数であることを示してください。

No.4 ベストアンサー 回答者： elen.1211 回答日時： 2020/10/18 17:53

ご指摘の通り、加群としては有限生成ではないが、代数としては有限生成でしたね。

失礼しました。
Sを生成元とするA代数Bというのは、本質的には、Aの像とSを含むBの最小の部分環と思えばよく、Sを有限集合としてとれる場合に有限生成といいます。
S={x}としたときにB=A[x]となります。

この回答へのお礼

お二人方ご回答ありがとうございました。おかげで部分加群としての有限生成と、部分代数としての有限生成の区別が付きました

お礼日時：2020/10/18 18:10

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/10/18 16:30

＞ ｛1,x,x^2,...｝が生成系なので有限生成ではないと思います

代数の有限生成と
加群の有限生成は別じゃない？

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/10/18 13:21

x=0 の代入が、 A[x] から A への全射準同型だから。

No.1 回答者： elen.1211 回答日時： 2020/10/18 13:10

xを変数とする多項式環なら

｛1,x,x^2,...｝が生成系なので有限生成ではないと思います

自然な環準同型　A→A[x]　があるのでA代数です