次の連立合同式を解け． (1) x ≡ 2 (mod 4) x ≡ 2 (mod 5) x ≡ 3

次の連立合同式を解け．
(1)
x ≡ 2 (mod 4)
x ≡ 2 (mod 5)
x ≡ 3 (mod 7)
(2)
x ≡ 2 (mod 3)
x ≡ 3 (mod 5)
x ≡ 2 (mod 7)

計算苦手なので、どなたか途中式を含めて解答していただけると助かります。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/11/18 15:28

例によって、回答しても質問削除されるやつだなあ...

でも、性分だから答えるか。

(1)
x - 2 が 4 でも 5 でも割り切れることは、
4 と 5 の最小公倍数 20 で割り切れることと同値。
x ≡ 2 (mod 20),
x ≡ 3 (mod 7)
を解くことになるから、
x = 2 + 20m = 3 + 7n (m,nは整数)
を解けばよい。

20m - 7n = 1 を満たす m, n をまずひと組見つける。
型通りに互除法を使ってもよいが、
今回は 20(-1) - 7(-3) = 1 が勘ですぐ見つかるから、
両式を辺々引き算して 20(m+1) - 7(n+3) = 0.
20(m+1) = 7(n+3) の両辺が
20 の倍数でもあり 7 の倍数でもあるから、
20 と 7 の最小公倍数 140 の倍数であって
20(m+1) = 7(n+3) = 140k　(ｋは整数)
と書ける。よって
m = 7k - 1,
n = 20k - 3
であって、
x = - 18 + 140k.

すなわち x ≡ -18 (mod 140) となる。
それとも、x ≡ 122 (mod 140) のほうが好きだろうか？

(2)
これも同様に
x ≡ 2 (mod 3),
x ≡ 2 (mod 7)
から処理してもよいが、今度は上から順に解いてみようか。

まず、
x ≡ 2 (mod 3),
x ≡ 3 (mod 5) を
x = 2 + 3m = 3 + 5n (m,nは整数) と変形して、
3m - 5n = 1 を解く。
3(2) - 5(1) = 1 をすぐに思いつくから、
両式を辺々引き算して 3(m-2) - 5(n-1) = 0.
3(m-2) = 5(n-1) の両辺が
3 と 5 の最小公倍数 15 の倍数であって
3(m-2) = 5(n-1) = 15k (ｋは整数)
と書ける。よって
m = 5k + 2,
n = 3k + 1
であって、
x = 8 + 15k.
すなわち、x ≡ 8 (mod 15).

次に、
x ≡ 8 (mod 15),
x ≡ 2 (mod 7)
を解く。
x = 8 + 15k = 2 + 7p と変形して
15k - 7p = -6 を解けばよい。

そのために、一旦
15K - 7P = 1 を解く。
15(1) - 7(2) = 1 をすぐに思いつくから、
両式を辺々引き算して 15(K-1) - 7(P-2) = 0.
15(K-1) = 7(P-2) の両辺が
15 と 7 の最小公倍数 105 の倍数であって
15(K-1) = 7(P-2) = 105q (qは整数)
と書ける。よって
K = 7q + 1,
P = 15q + 2
である。

15K - 7P = 1 の両辺を -6 倍すると
15(-6K) - 7(-6P) = -6 であるから、
k = -6K = -42q - 6,
p = -6P = -90q - 12
が 15k - 7p = -6 の解となる。
よって、x = 8 + 15k = - 82 - 630q.

すなわち、x ≡ -82 (mod 630) が答えとなる。

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2020/11/18 15:19

（1）上の2つの連立式からx ≡ 2 (mod 4×5)が出る。

　　これと残りの式との連立でx ≡ 122 (mod 4×5×7)

（2）おなじようにしてx ≡ 2 3(mod 3×5×7)