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No.3ベストアンサー
- 回答日時:
まず、関数yの変数が分からないので、とりあえずxとする。
ay''+by'+cy=0(aは0以外の実数、b,cは実数)の形の微分方程式は2次方程式のように解くことができる。
その2次方程式のことを特性方程式という。
ただ、今回の問題は右辺が1なので、そのままでは適用できない。
なので、y"+4y=1を満たす解を一つ求めないといけない。
これを特殊解という。
特殊解は、ある程度パターン化されているが、トライ&エラーで解くことになる。
例えば、y=px+qとすると、
y'=p
y''=0
これを与式に代入すると、
4px+4q=1
係数比較により、p=0, q=1/4となり、特殊解(の一つ)はy=1/4となる。
次に、y''+4y=0の特性方程式をr^2 + 4=0とすると、
r=±2i (i:虚数単位)
よって、y''+4y=0の一般解は、
y=C1'e^(2i)x + C2'e^(-2i)x
オイラーの公式より、
=C1'cos2x+(C1'i)sin2x+C2'cos2x-(C2i)sin2x
=(C1'+C2')cos2x+((C1'-C2')i)sin2x
C1'+C2', (C1'-C2')iは(虚数であっても)積分定数なので、
y=C1cos2x+C2sin2x
とおくことができる。
2階非斉次常微分方程式は解の重ね合わせができる。
よってy"+4y=1の特殊解と、y''+4y=0の一般解を足したものが与式の一般解となる。
ゆえに、y=C1cos2x+C2sin2x+1/4
(C1,C2:積分定数)
検算して確認してみて。
No.2
- 回答日時:
自由変数を決めないと式で書けないから、
’ は d/dx のこととする。
とりあえず、特殊解 y = 1/4 (定数関数) は
見りゃすぐに思いつくでしょ?
すると、y = 1/4 + z で置換して
z’’ + 4z = 0 を解くことになる。
定形数斉次線型微分方程式の解法は決まってるから、
特性方程式 λ^2 + 4 = 0 を解いた
λ = ±2i を使って、
z = A e^(2ix) + B e^(-2ix) (A,Bは定数).
式を整理すると
y = 1/4 + (C1)cos(2x) + (C2)sin(2x) (C1,C2は定数).
型通りだよ。
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