問4の問題の力積を求める段階で、(衝突前の運動量)+(衝突中に受けた力積)=(衝突後の運動量)でmv

Question

問4の問題の力積を求める段階で、(衝突前の運動量)+(衝突中に受けた力積)=(衝突後の運動量)でmv－FΔt=－mv’を計算したら(1+√3)mv/√3になってマイナスが付かなかったのですが、どこが間違っているのでしょうか？
解答だとこれにマイナスが付いていました。

masterkoto · Accepted Answer

少しだけ違った説明を試みるなら　次のようにもなります
#2で解説したように　力積・運動量は　ともにベクトルなんで

(衝突前の運動量)+(衝突中に受けた力積)=(衝突後の運動量)
⇔(→P)+(→I)=(→P')・・・(A)

式Aを成分に直したり、図にしたりするのも良いが
ベクトルが大きさと向きを持った量であるということを踏まえると
(A)式には数値だけでなく　向きの情報も盛り込んで
(→P)+(→I)=(→P')
　　　　↓
m・(下向きに+|v|)+(下向きに+|F|)・Δt=m・(上向きに+|v/√3|)・・・B
ですよね

もし向きの情報を入れずに
(→P)+(→I)=(→P')
　　　　↓
m・(+|v|)+(+|F|)・Δt=m・(+|v/√3|)
なんてしてしまえばこれはもはやベクトルの等式ではないので(A)式とはかけ離れた別物（誤り）の式となってしまいますよね

で、今回は幸いにもすべての向きが上下方向です！

そこで、下向きをプラスとしてあげれば　上向きを向いてい物理量はマイナスの数値で表すことができますよね
なんで、式Bは
縦方向の数直線上で考えることにすると（下向き正のy軸で考えることにすると）
m・(+|v|)+(+|F|)・Δt=m・(-|v/√3|)
⇔mv+FΔt=-mv/√3
となり　FΔt=-mv(√3+1)/√3（力積は下向きに-mv(√3+1)/√3)が得られるのです・・・(C)

あなたが間違えた-FΔt のマイナスは
式Bの段階で各ベクトルの向きの把握を曖昧にしていたことに由来していると思われます

で理解を深めるために　比較対象も挙げておきます
y軸の正方向の設定はそのままで　B段階の式の力積のベクトルの向きは不明ですから　人によっては上向きに+|F|の力が働いている　ととらえる人もあるかも（まあ、普通のひとは　→Fの向きとy軸の正方向をそろえる割合が多いとは思いますが・・・）
その場合は

m・(下向きに+|v|)+(上向きに+|F|)・Δt=m・(上向きに+|v/√3|)・・・B'
ですよね
これを先ほどと同様にy軸の数直線における式に変換すれば
mv-FΔt=-mv/√3　です（あなたと同じ-FΔtが出てきます）
ゆえに　結論は
FΔt=mv(√3+1)/√3・・・(D)
なんですが、この式の意味がさき程とは異なるんです
先ほどは　B段階で「(下向きに+|F|)・Δt」でしたが
今回はB'段階で、「(上向きに+|F|)・Δt」としていますので
(D)の意味は　力積が上向きに+mv(√3+1)/√3
という意味になるんです

ゆえに、見かけ上は(C)と(D)で符号の違いが生じます
けれども、(C)を言い換えると
（力積は下向きに-mv(√3+1)/√3)⇔力積が上向きに+mv(√3+1)/√3
ですから
両者とも同じ結論が得られたことになります（当然といえば当然ですが）

で、面倒なんで書きませんが、y軸の正の向きを鉛直上向きに取った場合も
B同様な向きまで意識した式を考えて処理すると　やはり最終結論が
力積=上向きに+mv(√3+1)/√3
となります（なんなら自分で試してみてください）

masterkoto · Answer

#2訂正
最下部　符号の位置をミスりました・・・

正しくは
「②式のy方向成分の表示は
m(+v)＋FΔt=m(-v/√3)です！！
ゆえに
FΔt=④を得ます」
でした。

masterkoto · Answer

まず、力積はベクトル
運動量もベクトル
であることを理解してください
なので、計算には各物理量の大きさだけでなく、向きの情報も持ち込まないといけません
なので　力積のベクトルを(→I)
運動量のベクトルを(→P)とすれば
ベクトルの式で
→I=(→P')-(→P) …①
と表さられます（ただし　→Pは衝突前の運動量、→P’は衝突後の運動量）

で、この問題では速度の水平成分が０なので鉛直方向成分だけを扱えば事足ります
でも、ベクトルなんで向きをきっちりと意識しないといけません
そこで、仮に鉛直下向きを正としてあげます
①は言葉にすると
(衝突中に受けた力積)=(衝突後の運動量)-(衝突前の運動量)で
貴方流に変形するなら
(衝突前の運動量)+(衝突中に受けた力積)=(衝突後の運動量)
⇔(→P)+(→I)=(→P')
です。あなたの考え方について、ここまでに誤りはないです

ところで　→P=m(→V)、
→I=(→F)Δt
→P'=m(→V')ですから
ベクトルの式を書き改めると
m(→V)+(→F)Δt=m(→V') …②です！
ベクトルの計算は図上でベクトルの矢印を合成するか
ベクトルをｘ成分(水平成分）とｙ成分（鉛直成分)にわけて
成分計算しなければいけません（ベクトルの成分計算については多分数学Bのベクトルの単元で習います）

今回は玉の水平方向への移動はないので
球が移動する直線を下向き方向が正のy軸
（原点は床の高さ）として考えるなら
②式の各ベクトル計算は単純に各ベクトルのy成分のみだけを意識して上げらばよいですよね
このことを踏まえて②式のy成分計算は
→Vは明らかにした向きですから　
→Vのｙ方向成分=+|→V|=+v

(→F)Δtは不明なんで　そのままにしておきますが
成分で表すなら　(→F)は下向きに大きさFの力が働くという意味なんで
+FΔtとしておくのです
（計算後FΔtがマイナスの数値で求まれば,力積は下方向にマイナス●　という意味なんで　つまりは力積は上向きにプラス●　ということが分かるという仕組みです）
※ここがあなたの式の符号の誤っている部分！

同様にm(→V')は水平成分が０で、鉛直成分は上方向にm(v/√3)ですが
今回はy軸の下向きを正に取っていることを考慮して　
y成分を考えるなら　(→V')の鉛直成分=-v/√3として扱うことになります(あなたはここも符号を間違えたのかもしれません）
これらを踏まえて
②式のy方向成分の表示は
m(+v)＋FΔt=m-(v/√3)です！！
ゆえに
FΔt=④を得ます

yhr2 · Answer

非常に分かりにくい表現ですが、「ベクトル」の考え方と「スカラー」の考え方がごちゃごちゃになっています。
「力積」そのものは「ベクトル」ですから、「下向きを正」として表記すると「マイナス」が付いた表記になります。

「ベクトル」を表すときに、「鉛直方向」だけの２次元として表わすときには（「水平方向だけ」の場合も同じ）、「上向き」あるいは「下向き」を「正」とすることで、「ベクトル」を「正、負を区別したスカラー」のように扱うことが多いです。
その場合に、「これはベクトルである」と認識して、きちんと「正負」を区別することが大切です。

この場合には、「変数として使う記号、文字」自体が正負の両方を含む場合と、「変数として使う記号、文字」は「正の値」でその前に「符号」を付けて正負を表す場合（通常「マイナス」だけ付けて「プラス」は書かない）とがあるので、これも注意が必要です。

この問題では、「速度」は「ベクトル」として扱って、「下向きを正」としているので、「上向き」は「負の値」としています。
そして、v' = |v'| > 0 として「文字は正の値」として扱っています。

なので、跳ね返るときの「上向きの力」（力はベクトル）は「マイナス」であり、力積も「マイナス」になり、「負号」を付けて示しています。
そのような表記をすると、
　FΔt = (衝突後の運動量) - (衝突前の運動量)
ですから、衝突後の上向き速度は -v' (v' = |v'| > 0) なので
　FΔt = m(-v') - mv
という表記になります。

質問者さんの式に「負号」が付かなかったのは、「方向」を考えなかったか、「文字は正の値だけをとる」と考えずに「文字は正負の値をとる」としたかのどちらかです。

ベクトルを、ちゃんといちいち「矢印」を付けて「ベクトル」としてとり扱っていれば（その場合には「文字は正の値だけをとる（出発点から到着点までの大きさを表す）」ことになる）、こんな面倒な誤解も生じないんですけどね。

問4の問題の力積を求める段階で、(衝突前の運動量)+(衝突中に受けた力積)=(衝突後の運動量)でmv

少しだけ違った説明を試みるなら 次のようにもなります

#2訂正

まず、力積はベクトル

非常に分かりにくい表現ですが、「ベクトル」の考え方と「スカラー」の考え方がごちゃごちゃになっています。

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