次の条件を満たす点の軌跡の方程式を教えてください。 2 点 (0,2√3), (0,-2√3) から

次の条件を満たす点の軌跡の方程式を教えてください。

2 点 (0,2√3), (0,-2√3) からの距離の和が8

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2021/02/02 22:24

2点からの距離の和が 一定の点の軌跡は「楕円」です。

教科書を 復習して下さい。（又は ネット検索）
尚、2点からの距離の差が一定な 点の軌跡は「双曲線」です。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2021/02/02 22:30

「(0,2√3)から(x,y)までの距離と、(0,-2√3) から(x,y)までの距離との和が8」

をそのまんま式で表せばいいんです。

　ちなみに、その式を上手に整理すると平方根なしにできますが、ま、それはこのご質問においてはどうでもいい話かな。

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/02/02 22:57

淡々と計算。

工夫は不要です。
書いてあることをそのまま式にして、
√( (x-0)^2 + (y-2√3)^2 ) + √( (x-0)^2 + (y+2√3)^2 ) = 8.
このままでも特に問題ないとは思うが、
少し式の整理も試みます。

両辺が正なので、両辺を 2乗しても同値な式で、
(x^2+(y+2√3)^2) + 2√( (x^2+(y-2√3)^2)(x^2+(y+2√3)^2 ) + (x^2+(y+2√3)^2) = 8^2.
すなわち、
√( (x^2+(y-2√3)^2)(x^2+(y+2√3)^2 ) = 32 - (x^2+y^2+12).
更に両辺を 2乗して、
(x^2+y^2-(4√3)y+12)(x^2+y^2+(4√3)y+12) = (２0-x^2-y^2)^2
　　ただし、 ２0-x^2-y^2 ≧ 0.
これを (x^2+y^2) についての方程式と見て、解けば、
64(x^2+y^2) = 256 - 48y^2 ただし x^2+y^2 ≦ 20.
もう少し整理して、
(x/2)^2 + (y/4)^2 = 1.
　　この式が x^2+y^2 ≦ 20 を満たすことは、容易に確認できるでしょう。

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2021/02/03 13:18

No.2です。

　いろいろな話が出てきたんで、ちょっと足してみようかなと。

> 次の条件を満たす点の軌跡の方程式

の答は、No.2で示した方針で（No.3の冒頭にある式が）得られ、問題の答としてはこれで十分です。

　一方、（No.1でご指摘の通り）「2点からの距離の和が一定である曲線は、それら2点を焦点とする楕円だ」ということは、（「2点からの距離の差が一定である曲線は、それら2点を焦点とする双曲線だ」ということとセットで）知っているべきことでしょう。そして、この知識があれば（No.3がやってくださったような）式を整理する作業をしなくても、ショートカットでシンプルな式に簡単にたどり着けます。

　ご質問の場合にも、「2点からの距離の和が一定である曲線はそれら2点を焦点とする楕円だから」、その楕円の焦点はF1 = (0,2√3), F2 = (0, -2√3)である。
　というわけで、図が描けますね。すると、楕円の中心は原点にあって、長軸はy軸と一致し、短軸はx軸と一致する、ということがわかる。
　ここで、長軸と楕円とがy>0で交わる交点Lの座標を(0,L)とすると、
　　F1とLの距離 + F2とLの距離 = (L-2√3) + (L-(-2√3)) = 8
なのだから、これを解いて
　　L = 4
である。
　また短軸と楕円とがx>0で交わる交点Sの座標を(S,0)とすると、
　　F1とSの距離 + F2とSの距離
　　　= 2(F1とSの距離) = 2√((2√3)^2 + S^2) = 8
なのだから、これを解いて
　　S = 2
である。なので、この楕円の方程式は(No.3で式を整理して得られた通り）
　　(x/2)^2 + (y/4)^2 = 1
だとわかる。
　普通のガッコウのテストだったら、これでマルが貰えるでしょう。

　さて、このショートカットをやるに当たっては、「2点からの距離の和が一定である曲線は、それら2点を焦点とする楕円だ」という知識を利用したのでした。しかし、その知識は本当なの？（No.3にある答案では、この知識を使っていないから、こんな心配は無用です。）
　なので、数学として完璧な解答にするには、さらに
　　(1) (x/2)^2 + (y/4)^2 = 1 を満たす(x,y)は全て、F1と(x,y)との距離とF2と(x,y)との距離の和が8である。
　　(2) (x/2)^2 + (y/4)^2 = 1 を満たさない(x,y)は全て、F1と(x,y)との距離とF2と(x,y)との距離の和が8ではない。
の二つを証明する必要があります。（どっちもワリと簡単な問題。）