代数学の質問です。 GとHを有限群とする。G×Hの位数は|G|×|H|であることを証明せよ。 という

代数学の質問です。

GとHを有限群とする。G×Hの位数は|G|×|H|であることを証明せよ。

という問題の証明をお願いします！！

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/02/10 08:25

群とその台集合を同じ文字で表す習慣が

話を解りにくくしていると思う。
G, H の台集合を、それぞれ G₀, H₀ とする。
｜G×H｜ = ｜G₀×H₀｜ = ｜G₀｜×｜H₀｜ = ｜G｜×｜H｜
だというだけの話。

｜G×H｜ = ｜G₀×H₀｜,
｜G｜ = ｜G₀｜,
｜H｜ = ｜H₀｜
は、それが群の位数の定義だから。

｜G₀×H₀｜ = ｜G₀｜×｜H₀｜
は、集合の直積の定義より自明。