『緊急』四面体OABCにおいてOA=OB=OC=‪√‬21 AB=BC=CA=6のとき 平面ABCと

『緊急』四面体OABCにおいてOA=OB=OC=‪√‬21
AB=BC=CA=6のとき
平面ABCと平面OBCのなす鋭角の余弦を求めよ

本当にお願い致します。
途中式もお願い致します。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2021/02/27 10:53

まずは絵を描いて眺めれば、「BCの中点をMとして、 α = cos(∠OMA)を計算しろ」という問題だとわかる。

すなわち、A,B,Cを、Oを原点とするベクトルだと思うことにして、
　　|A|=|B|=|C|=√21
　　|A-B|=|B-C|=|C-A|=6
のとき、BとCの中点M
　　M = (B+C)/2
について、
　　α = M・(M-A)/(|M||M-A|) （・ は内積）
を計算したい。
　てことは、AとMを何らかの直交座標系で成分表示できれば解決する。もちろん、O,A,Mを通る平面上の直交座標系なら話が2次元で済んじゃうから簡単だろう、という所までなら、すぐ思いつくでしょ。

　⊿ABCは正三角形なので
　　|M-A| = (|B-C|/2)√3
一方、⊿BOCは二等辺三角形なので
　　|M|^2 = |B|^2 - (|B-C|/2)^2
また、Oから正三角形ABCへ下ろした垂線の足をXとすると、当然
　　∠OXA = ∠OXM = 直角
であって、（|A|=|B|=|C|より）Xは正三角形ABCの中心だから、
　　X = (A+B+C)/3 = (A+2M)/3
だからA,X,Mは一つの直線上にある。なので
　　α = M・(M-X)/(|M||M-X|)
であり
　　M-X = (M-A)/3
　　X-A = 2(M-X)
　　|X|^2 = |A|^2 - |X-A|^2
　そこで、O,A,Xを含む平面に、原点がO、X/|X|がx軸の単位ベクトル、(X-A)/|X-A|がy軸の単位ベクトルである直交座標系を作ると、X, Mの座標成分がわかるから、αが計算できる。