ベクトルの内積

ベクトルの内積について質問です。
ある問題で、
AB→=x→-y→ OM→=y→-x→ AB⊥OMのとき
AB・OM=0より
|x|^2-2x→・y→+|y|^2=0
となっているんですけど、これって普通に展開していますよね？
内積と掛算って一緒じゃないはずなのに普通に展開しても良いのでしょうか？
a→・b→=|a→||b→|cosθを用いて出したのならこのときのcosθの値はどこにいったのでしょう？
わかる方教えてください。

No.3 ベストアンサー 回答者： noname#47894 回答日時： 2007/11/23 23:19

> 内積と掛算って一緒じゃないはずなのに普通に展開しても良いのでしょうか？

確かに仰るとおり、内積と掛け算は違います。
掛け算では可能なのに、内積では不可能なこととして、結合法則があげられます。
普通の数なら、a×（b×c）＝（a×b）×c　が成り立ちますが、
a→・（b→・c→）＝（a→・b→）・c→　は　成り立ちません。

さて、分配法則については、内積を成分で計算することにして、
a（a1,a2）、b（b1,b2）、c（c1,c2）とでもおくと、
a→・（b→＋c→）＝a1（b1＋c1）＋a2（b2＋c2）
a→・b→＋a→・c→＝a1b1＋a2b2＋a1c1＋a2c2
なので、a→・（b→＋c→）＝a→・b→＋a→・c→　でO.K.でしょう。

（x→－y→）・（y→－x→）
＝x→・（y→－x→）－y→・（y→－x→）
＝x→・y→－x→・x→－y→・y→－y→・x→
＝２x→・y→－｜x→｜^2－｜y→｜^2
となります。

（x1→＋x2→＋x3→．．．）・（y1→＋y2→＋y3→．．．）というタイプであれば、普通にあたかも展開であるかのように計算できます。ただし、x→^2　と書くとよろしくないので（｜x→｜^2が正しい）、その点は注意してください。
同じような考え方で、注意深く行えば、因数分解みたいなこともできます。

ところで、問題がおかしくないですか？
|x|^2-2x→・y→+|y|^2=0　なら、｜x→－y→｜^2＝0　より、x→－y→＝０→　で、AB→＝OM→＝０→　？？？
（AB→=x→-y→ OM→=y→-x→　なら、AB→=－OM→なので、ABとOMは平行と考えるのが普通ですが．．．AB⊥OM？）

No.2 回答者： Meowth 回答日時： 2007/11/23 21:40

普通に展開できるのは

掛け算が可換、分配法則が成り立つからです。
内積も、掛け算もそれがなりたつので同じように計算できます。
a→・b→=|a→||b→|cosθ
をつかったのは、
ｘ.x=|x|^2　です。
おなじベクトルではcosθ＝１です

可換　　x×ｙ＝ｙ×ｘが成り立つこと
内積では
x.y=y.xが成り立つ。

分配法則
ｘ×（y＋z)＝ｘ×ｙ＋ｘ×z
が成り立つ
内積では
ｘ.(y+z)=x.y+x.z
が成り立つ

No.1 回答者： A-Tanaka 回答日時： 2007/11/23 20:45

さて、cosθの値はいくらでしょうという問題と同じですよ。

この場合には、θ=90度（π/2）ですから、答えは簡単だと思いますけど。