数列 a(n+₁)＝a(n)/pa(n)+q 型の漸化式で、 両辺の逆数を取って考える問題で、 本当

数列 a(n+₁)＝a(n)/pa(n)+q 型の漸化式で、
両辺の逆数を取って考える問題で、
本当は逆数にしなくても解けるけど 、
特性方程式を作る時に定数の部分が分数になるとややこしいので 逆数にして考えて分数を整数にしている。
という考え方であっていますか？

質問者からの補足コメント

• No.1様＞＞
  導けてしまったのですがこの計算は間違っていますか？m(_ _)m間違っていたらすみません、、、

  
    補足日時：2021/02/27 10:29

• 

  あれ、でも両辺を逆数にしたら成り立つんですよね、、
  そしたら逆数にして導き出した、
  1/a(n+₁)＝p+q/a(n)をさらに逆数をとると
  a(n+1)＝1/p+a(n)/q が成り立つことになってしまいませんか、、、？
  あれ、、どこかで自分が勘違いしてるとは分かるけど何がどう違う解釈をしてるかがわからなくなってしまいました、、、

    補足日時：2021/02/27 11:00

• あっ通分するのか……

    補足日時：2021/02/27 11:11

• なんか1人で勘違いして1人で納得しててすみません、、通分して逆数にしなきゃ成り立たない？んでしたね、、、解決しました、、多分、、、

    補足日時：2021/02/27 11:12

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/02/27 13:44

一般の a(n+1) = { Aa(n)+B }/{ Ca(n)+D } についても、

右辺の一次分数変換を対角化すれば解けるのですが...
今回は、固有ベクトル 1/a(n) がたまたま簡単に見つかるので、
それを使ってしまえば話が早いということでしょう。

No.2 回答者： sukitaro 回答日時： 2021/02/27 10:38

いま仮に、a(n)=2、p=3、q=5を代入してみると、

1行目は、2/(3*2+5)で、2/11になりますが、
2行目は、2/(3*2)+2/5で、11/15になってしまいます。

この回答へのお礼

あーーーーーー！そっか、、、！！！
分母はバラバラにしちゃいけないのか、、！あっっっ、なるほど、、、理解しました、、！
こんな基本的なところで間違えてしまい申し訳ないです(TT)
助かりました、ありがとうございました！

お礼日時：2021/02/27 10:51

No.1 回答者： sukitaro 回答日時： 2021/02/27 10:23

a(n+1)=a(n)/(pa(n)+q)から、

a(n+1)=1/p+a(n)/qは、
導けないので、やっぱり、
1/a(n)=b(n)としないといけないんじゃないかなと思います。