Ｓ＝ Σ(n=0,N-1)e^cn=Σ(n=0,N-1)(e^c)n (初項1,項比e^cの等比級数

Ｓ＝
Σ(n=0,N-1)e^cn=Σ(n=0,N-1)(e^c)n (初項1,項比e^cの等比級数の和)
=(1-(e^c)^N)/(1-e^c)
1-(e^c)^N=1-e^[i2πk/N×N]＝1-e^[i2πk]

において、Σ(n=0,N-1)(e^c)n (1-(e^c)^N)/(1-e^c)となる過程の計算を教えてくだ
さい。

質問者からの補足コメント

• 間違えました。
  Ｓ＝
  Σ(n=0,N-1)e^cn=Σ(n=0,N-1)(e^c)n (初項1,項比e^cの等比級数の和)
  =(1-(e^c)^N)/(1-e^c)
  1-(e^c)^N=1-e^[i2πk/N×N]＝1-e^[i2πk]
  
  において、Σ(n=0,N-1)(e^c)n (1-(e^c)^N)/(1-e^c)から=(1-(e^c)^N)/(1-e^c)
  1-(e^c)^Nとなる過程の計算を教えてくだ
  さい。

    補足日時：2021/03/13 15:38

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/03/13 18:58

初項1,項比e^cの等比級数の和は、

(e^c)n じゃなくて (e^c)^n とか e^(cn) とか書いたほうが
間違いなく伝わると思います。

等比数列の和の公式
Σ[n=0,N-1] (e^c)^n = (1-(e^c)^N)/(1-e^c)
は解ったのですね。

1-(e^c)^N = 1-e^[i2πk/N×N] = 1-e^[i2πk]
という式は、意味不明です。
k はどこから湧いて来たのでしょう？
単純に 1-(e^c)^N = 1-e^[i2πk/N×N] となる k
ということなら、cN = i2πk/N×N ですから
k = cN^3/(i2π) だということなんですかね。
不明です。

1-e^[i2πk/N×N] = 1-e^[i2πk] という式も、
そのままでは N = 1 を意味することになりますが、
それだと Σ[n=0,N-1] が n = 0 だけの単項式
になってしまいます。そういう話ではないんだろうなあ
とは感じるのですが、どうなんでしょうね。

Σ[n=0,N-1] (e^c)^n (1-(e^c)^N)/(1-e^c) から
=(1-(e^c)^N)/(1-e^c)　1-(e^c)^N となる過程
というのは、単に、左辺の Σ の中から
n と関係のない (1-(e^c)^N)/(1-e^c) を括り出して
Σ[n=0,N-1] (e^c)^n (1-(e^c)^N)/(1-e^c)
= (1-(e^c)^N)/(1-e^c) Σ[n=0,N-1] (e^c)^n
= (1-(e^c)^N)/(1-e^c) { (1-(e^c)^N)/(1-e^c) }
なのかなあと思うのですが、それだと
=(1-(e^c)^N)/(1-e^c)　1-(e^c)^N にはなりませんね。

式の書き方に支障があって、問題の内容が
正しく伝わってないように思えてなりません。
手書きの式の写真で補足するとか、
もう少し括弧を増やした式で書いてみるとか、
何とかなりませんかね？