位相群Gに対して、Vを相対コンパクトなGの部分集合、SをGのコンパクト部分集合とする時、SVは相対コ

位相群Gに対して、Vを相対コンパクトなGの部分集合、SをGのコンパクト部分集合とする時、SVは相対コンパクトな部分集合になりますか.
Vの閉包をV'、SVの閉包を(SV)'として、SV'⊂(SV)'となることは示すことが出来ました。
(SV)'⊂SV'は成り立たないので、困っています。もしこれが成り立てばSV'＝(SV)'であるので、命題は示すことができます。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/03/21 19:18

Sはコンパクト

V'もコンパクトだから
コンパクト集合SとV'の直積
S×V'はコンパクト
S×V'からSV'への写像
f:S×V'→SV'⊂G
を
f(a,b)=ab
と定義すると
fは連続だから
コンパクト集合S×V'の連続写像fによる像
f(S×V')=SV'
もコンパクトである
Hausdorff空間Gのコンパクト部分集合SV'は閉集合だから
SV'
は閉集合
SV⊂SV'
SV⊂(SV)'はSVを含む最小の閉集合だから
(SV)'⊂SV'

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(定理)コンパクト空間A,Bの直積空間A×Bはコンパクトである
(定理)コンパクト空間Xの連続写像fによる像f(X)はコンパクトである
(定理)Hausdorff空間Gのコンパクト部分集合Sは閉集合である

この回答へのお礼

ありがとうございます。よく分かりました！

お礼日時：2021/03/21 20:11