教えて!gooにおける不適切な投稿への対応について

a=3i+j+2k , b=i−2j−3kの両方に垂直な単位ベクトルを1つ求めよ.

単位ベクトルだからx=(x,y,z)と置くとx²+y²+z²=1①

垂直:内積の和=0だから
aとxで、3x+y+2z=0②
bとxで、x-2y-3z=0③

①~③を連立させてx,y,zを求める。

z=-7x,y=-11xより

これを①に代入すると
x=±√19/57
y=±11√19/57
z=±7√19/57

∴ (x,y,z)=(√19/57,11√19/57,7√19/57)、(-√19/57,-11√19/57,-7√19/57)
となったのですが、合っていますか?
違っていれば解説お願いします。

gooドクター

A 回答 (5件)

外積から入ると簡単。


(3, 1, 2) × (1, -2, -3) = (1, 11, -7)
https://oguemon.com/study/linear-algebra/inner-c …
>行列式形式の公式が美しいけど、サラスの公式知ってると計算は簡単。

これを正規化して双方向にすればよいので
±{1/(√(171))}(1, 11, -7)=±(√(19)/57)(1, 11, -7)
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(x,y,z)=… じゃダメで、もちろん pi+qj+rk という形の答が求められているでしょう。



 ところで i,j,kって、もしかして四元数の話?

 ひょっとしてそうだとすると: 3次元ベクトルを表す四元数a,bについて、3次元ベクトルとしての外積a×bをあらわす四元数が
  a×b = (abから実部を除いたもの)
であることを使って(a×b)/|a×b|(か、(b×a)/|b×a|のどっちか)を計算しろという練習問題なのかも。

 ご質問の場合、abを素直に展開すると
  ab = (3i+j+2k)(i−2j−3k)
  = 3ii - 6ij - 9ik + ji - 2jj -3jk + 2ki - 4kj - 6kk
これを
  ij = -ji = k,  jk = -kj = i, ki = -ik = j, ii = jj = kk = -1
を使って整理すると
  ab = 5 + i + 11j - 7k
実部を捨てて
  a×b = i + 11j - 7k
というわけで、確かに他の回答と合ってる。
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その答えが


z=-7x,y=-11x
を満たすかどうか考えてみよう.
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僕も外積に一票、かなぁ。



|i j  k|
|3 1 2|=(-3+4)*i - (-9-2)*j + (-6-1)*k = i + 11j-7k
|1 -2 -3|

外積で出てきたベクトルの大きさは√(1^2+11^2+7^2) = √171なんであとは√171で割れば良い。

まぁ、単位ベクトルを1つ求めよ、ってぇんでもう一方向は考えなくて良い、って事でしょうけど。
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違います。


y=11x , z=-7x
ですね。
すると x²=1/171 → x=±1/(3√19)

したがって
<1/(3√19), 11/(3√19),-7/(3√19)>
です。

一般には
a×b/|a×b|=<1,11,-7>/√171
で求められる。
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