フーリエ級数展開がわかりません。詳しい方助けてください。。。

f(x)=1 (0~π/2)
=(-2/π)x+2 (π/2~π)
=(2/π)x-2 　 (π~3π/2)
　 =1 (3π/2~2π)

のフーリエ級数展開がわかりません。
0~2πにおけるf(x)の積分が3/2πであることからa0=3/2であること、このf(x)が偶関数であることからbn=0になることまでは分かるのですが、anがわかりません。

分かる方いましたら教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/05/07 20:23

地道に積分しましょう。

それだけです。
a_n = ∫[0,2π] f(x)(cos x) dx です。
f(x) の折れ線に合わせて、
積分区間を分割したらいいですね。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2021/05/07 22:33

こういうのは積分なしでやるなあ。

　以下、全部周期2πの話だとして、まずは
　　f(x) = 1 - (2/π) g(x-π)
と分解する。ただしgは二等辺三角形の関数で
　　g(x) = if (|x|≦π/2) then (π/2) - |x| else 0
（いや、こんなのわざわざ式で書く必要はないのだが、あえて説明のために。グラフを描いてみてください。）ここで、矩形関数
　　h(x) = if (|x|<π/4) then 1 else 0
（いや、こんなのわざわざ以下略）を考えれば
　　g(x) = h(x)＊h(x)
ただし”＊”はconvolution。
　さて、1とhについてならフーリエ級数を知ってるんでは？　そこでconvolution定理を使うとgのフーリエ級数がわかり、そしたらg(x-π)のフーリエ級数も簡単なので、答が出る。ちょっと慣れると「暗算」でもできる。