指数関数の微分

指数関数の微分に関する問題です。
問題は画像で添付させていただきました。
今日中に提出しないといけない課題なのですが、結構時間をかけたにもかかわらずいまだ解けていません。

おそらくf(x) = x - exp((x-1) / x) を微分して、x > 0 のときの最小値が1以上であることを示せばいい気がするのですが、f'(x) = exp((x-1) / x) / x^2 が 0になる xが１以外にみつからず、増減表を描くところで詰んでしまいました。
ソフトなどを使ってグラフも描写してみたのですが、0.27付近に確かにその値があるのですが、その値が正確にわかりませんでした。

ベストアンサーに関しては、正確性とスピードを基準として選ばせていただきます。
よろしくおねがいします。

質問者からの補足コメント

• f'(x)は　1 - exp((x-1) / x) / x^2　の間違いでした。

    補足日時：2021/05/14 13:26

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/05/14 19:01

今日中の課題か、カンニングにならないように

明日解説しようかな。

No.2 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/05/14 15:49

投稿ミスしました。

f(x)=x-exp(1-1/x)≧0 (x>0) を示せば良い。

e^y≧1+y　である。
すると
exp((1/x)-1)≧1+((1/x)-1)=1/x

x>0 だから
x≧1/exp((1/x)-1)=exp(1-(1/x)) → -exp(1-(1/x)) ≧ -x

すると
f(x)=x-exp(1-(1/x))≧x-x=0

与式が証明された。

この回答へのお礼

ありがとうございます！
証明過程も詳しく丁寧に書いていただき、大変助かりました。

e^y≧1+yを証明する、という易しい方の課題を残してくださり、
ある程度自分で解ける余地も残してくださってとても素敵だなぁと思いました。
ちなみに、e^y≧1+yは証明できました！

お礼日時：2021/05/14 23:21

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/05/14 14:01

https://examist.jp/mathematics/integration-expre …