確率の問題

ｎを2以上の整数とする。一つのサイコロをn回続けて投げ同じ目が初めて二回連続で出るまで投げた回数をXとする。ｎ回までに同じ目が続けてでなければX＝n+1。Xの期待値を求めよ。

この問題の解き方を教えていただきたいです。

質問者からの補足コメント

• 答えは7-5(5/6)^(n-1)となるそうです。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/05/17 12:37

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2021/05/17 00:40

毎回の「出た目」に対して、次に「同じ目が出るか」（確率 1/6）、「同じ目が出ないか」（確率 5/6）の連続です。

ｎ回までに同じ目が続けて出れば、そこで終了ということなのでしょう。

１回目：何の目でもよい。確率１。このとき X は定義できない。
２回目：１回目と同じ目が出る確率 1/6。　このとき X=2
３回目：２回目が「１回目と同じ目」が出ない（5/6）、かつ「２回目」と同じ目が出る（確率 1/6）。　このとき X=3

以上の考察を続ければ
・X=2 となる確率：1 * 1/6 = 1/6
・X=3 となる確率：1 * 5/6 * 1/6 = 5/36
・X=4 となる確率：1 * 5/6 * 5/6 * 1/6 = 25/216
　・・・
・X=n となる確率：5^(n-2) /6^(n-1)
・X=n+1 となる確率：5^(n-1) /6^(n-1)

従って、X の期待値は
　Σ[i=2,n]{i * 5^(i-2) /6^(i-1)} + (n+1) * 5^(n-1) /6^(n-1)

No.2 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/05/17 11:59

企業で統計を推進する立場の者です。

直感ですが、

これって幾何分布の問題で、ｎ回で生起するなら期待値はE(X)＝1/p。
すなわち、X回目で「初めて同じ目が並ぶ」ときXの期待値は、問題文どおりそれに１投目を足して「７」になるはずなんですが、#1さんの回答を計算するとそうなるのかあ。

あと、感覚的には、もっと早く並ぶと感じるのですが、その場合は中央値を使います。問題は期待値を求めよ、ですから感覚とはズレます。

期待値の導出が必要なら書きますが、ネットでも溢れています。

高校英語の教科書に出ていた「タコのパウル君」は中央値でやっていたので、質問された際、しばらく悩みました。

No.3 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/05/17 13:11

#2です。

コメントありがとうございます。

ｎの関数になるんですね。ｎ→∞のケースでなく（ｎが消えるのではなく）、ｎの関数として求まるのですね。
すなわち、Ｘ回＜ｎ回すなわち同じ目が出るまでＸ回続けるのでなく、ｎ回打ち切りなんですね。

これを見落としていました。

ということは、ｎ回以降に見つかる場合を考慮して引かなければなりませんね。

チャレンジしてみます。

No.4 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/05/18 09:25

#2です。

お示し頂いた式を検証しました。
確かに、あの式は打ち切り回数を増やしていくと、私の直感通り、幾何分布の期待値６に最初の１回分を足した７に漸近していきますね。

数式化で躓いているのが、打ち切りまでに同じ目が揃わなかったときは、X＝ｎ＋１とせよ、の部分です。もう少し考えさせて下さい。
興味深い問題です。

(5/6)^(n-1)は、打ち切り回数までに揃わなかった確率ですが、なぜそれに５を掛けて、目が揃うまで続けた場合の期待値７から引けば良いのか、理由が分かりません。

No.5 ベストアンサー 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/05/22 00:54

#2です。

仕事が忙しかったので考えていなかったけど、週末になって思い出しました。そして、計算方法を思いつきました。時間が掛ってスミマセンでした。


幾何分布の期待値は無限等比級数の和を使って計算できます。

ところが、今回はｎ回で打ち切りです。問題文からは（ｎ＋１）回までの和と読み取れますが、１投目は無視するからｎ回です。
無限等比級数は簡単ですが、ｎを含んだまま有限の和を求めるのは困難です。

そこで、簡単にするために、全体の和からそれ以降の等比数列の和を引きます。

それ以降の和は、（ｎ＋１）回目を初項とする無限等比級数の和です。問題文からは（ｎ＋２）回目以降と読み取れますが、１投目は無視するから（ｎ＋１）回です。初項はｎ回ハズレ続けた値になります。

等比数列の公式に入れてやれば、解答の式が出ます。
ただし、１回目は無視して計算し、後から足します。

後半の初項は(5/6)^n、無限等比級数の和は(初項)／(1ー公比)

次の式の６は今回の幾何分布の期待値で全体に相当します。そこから後半の級数の和を引きます。最後の１は、無視した１投目です。

6-(5/6)^n / (1-5/6)+1
=7-5(5/6)^(n-1)

導出終わり。

No.6 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/05/22 01:27

#5です。

お恥ずかしい。

数列と級数がごっちゃになっていました。級数は数列の和です。級数の和なんて書いていますね。訂正してお詫びします。