問題 2 z 軸を中心軸として、半径 a の厚みの無視できる導体円筒と半径 4a の厚みの無視できる導体円筒 で円筒コンデンサーを構成した。コンデンサー内部には、内半径 2a、外半径 3a の誘電率 3ε0 の円筒上の誘 電体が入っている。真空中の誘電率を ε0、中心軸からの距離を r として以下の各問に答えよ。
(a) コンデンサーに(円筒の)単位高さ当たり電気量 Q[C/m] を与えたとき(導体球に正電荷を与える)、 半径 a ≤ r ≤ 4a に領域で、電場をそれぞれの場合に求めよ(導出過程を明記すること)。
(b) 単位高さ当たりの静電容量を求めよ。
(c) 単位体積当たりの静電エネルギーを積分して、半径 3a ≤ r ≤ 4a の領域にある静電場が持つ単位高さ当 たりの全エネルギーを求めよ。
上の(a)~(c)の解き方をご教授ください。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
ガウスの法則
∫D・ndS=Q
から、単位長当たり、半径rの円筒内の電荷をQとすると電束密度は
2πrD=Q → D=Q/(2πr)
(a)
D=εE だから
E=Q/(2πε₀r) (a<r<2a , 3a<r<4a)
E=Q/(2πεr) , ε=3ε₀ (2a<r3a)
(b)
V=-{∫[4a→3a] Edr+∫[3a→2a] Edr+∫[2a→a] Edr}
=-(Q/2πε₀){ [logr][3a,4a]+(1/3)[logr][2a,3a]+[logr][a,2a] }
=-(Q/6πε₀){ 3[log3a-log4a]+[log2a-log3a]+3[loga-log2a] }
=-(Q/6πε₀){ 3log(3/4)+log(2/3)+3log(1/2) }
=-(Q/6πε₀){ 3(log3-2log2)+(log2-log3)-3log2 }
=-(Q/6πε₀){ 2log3-8log2 }=-(Q/3πε₀){ log3-4log2 }
=(Q/3πε₀)log(16/3)
C=Q/V=3πε₀/log(16/3) [F/m]
(c)
W=∫[3a→4a] ε₀E²/2 (2πr)dr
=∫[3a→4a] ε₀{Q²/(2πε₀r)²}(πr)dr
=∫[3a→4a] ε₀{Q²/(4π²ε₀²r²)}(πr)dr
=(Q²/4πε₀)∫[3a→4a] (1/r)dr
=(Q²/4πε₀)[logr][4a,3a]
= (Q²/4πε₀) log(4/3) [J/m]
No.2
- 回答日時:
(c)はもっと簡単に求められる。
(b)から3a~4a間の電圧はV=-∫[4a→3a] Edr =-(Q/2πε₀)[logr][3a,4a]
=-(Q/2πε₀) log(3/4) = (Q/2πε₀) log(4/3)
この間のコンデンサのエネルギーは
QV/2=(Q²/4πε₀) log(4/3) [J/m]
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