物理 電磁気学

問題 2 z 軸を中心軸として、半径 a の厚みの無視できる導体円筒と半径 4a の厚みの無視できる導体円筒 で円筒コンデンサーを構成した。コンデンサー内部には、内半径 2a、外半径 3a の誘電率 3ε0 の円筒上の誘 電体が入っている。真空中の誘電率を ε0、中心軸からの距離を r として以下の各問に答えよ。
(a) コンデンサーに(円筒の)単位高さ当たり電気量 Q[C/m] を与えたとき(導体球に正電荷を与える)、 半径 a ≤ r ≤ 4a に領域で、電場をそれぞれの場合に求めよ(導出過程を明記すること)。
(b) 単位高さ当たりの静電容量を求めよ。
(c) 単位体積当たりの静電エネルギーを積分して、半径 3a ≤ r ≤ 4a の領域にある静電場が持つ単位高さ当 たりの全エネルギーを求めよ。

上の(a)~(c)の解き方をご教授ください。

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/05/18 17:59

(c)はもっと簡単に求められる。

(b)から３a~４a間の電圧は
V=-∫[4a→3a] Edr =-(Q/2πε₀)[logr][3a,4a]
　=-(Q/2πε₀) log(3/4) = (Q/2πε₀) log(4/3)

この間のコンデンサのエネルギーは
QV/2=(Q²/4πε₀) log(4/3) [J/m]

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/05/18 06:40

ガウスの法則

　∫D・ndS=Q
から、単位長当たり、半径rの円筒内の電荷をQとすると電束密度は
　２πrD=Q → D=Q/(2πr)

(a)
D=εE だから
　E=Q/(2πε₀r) (a<r<2a , 3a<r<4a)
　E=Q/(2πεr) , ε=3ε₀ (2a<r3a)

(b)
　V=-{∫[4a→3a] Edr+∫[3a→2a] Edr+∫[2a→a] Edr}
　 =-(Q/2πε₀){ [logr][3a,4a]+(1/3)[logr][2a,3a]+[logr][a,2a] }
　 =-(Q/6πε₀){ 3[log3a-log4a]+[log2a-log3a]+3[loga-log2a] }
　 =-(Q/6πε₀){ 3log(3/4)+log(2/3)+3log(1/2) }
　 =-(Q/6πε₀){ 3(log3-2log2)+(log2-log3)-3log2 }
　 =-(Q/6πε₀){ 2log3-8log2 }=-(Q/3πε₀){ log3-4log2 }
　 =(Q/3πε₀)log(16/3)

　C=Q/V=3πε₀/log(16/3) [F/m]

(c)
W=∫[3a→4a] ε₀E²/2 (2πr)dr
　=∫[3a→4a] ε₀{Q²/(2πε₀r)²}(πr)dr
　=∫[3a→4a] ε₀{Q²/(4π²ε₀²r²)}(πr)dr
　=(Q²/4πε₀)∫[3a→4a] (1/r)dr
　=(Q²/4πε₀)[logr][4a,3a]
　= (Q²/4πε₀) log(4/3) [J/m]

この回答へのお礼

ありがとうございます。とてもわかりやすかったです。

お礼日時：2021/05/19 00:53